Calcule as raízes dos números complexos dados a seguir e faça a representação gráfica correspondente.
raiz[3]i

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular as raízes cúbicas de $ i $ e fazer a representação gráfica delas. Isso faz parte da matéria de Números Complexos, mais especificamente sobre raízes de números complexos e representação no plano complexo. Para resolver, vamos precisar entender a forma polar dos números complexos e como aplicar a fórmula das raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que qualquer número complexo $ z $ pode ser escrito na forma polar: $ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) $, onde $ r $ é o módulo de $ z $ e $ \theta $ é o argumento de $ z $. No nosso caso, temos $ z = i $.

Passo 3

Vamos encontrar o módulo $ r $ de $ i $. O módulo de um número complexo $ a + b i $ é dado por $ r = \sqrt{a^2 + b^2} $. Aqui, $ a = 0 $ e $ b = 1 $, então:
r

Passo 4

Agora, vamos encontrar o argumento $ \theta $ de $ i $. O argumento é o ângulo que o número complexo forma com o eixo real positivo. Como $ i $ está no eixo imaginário positivo, $ \theta = \frac{\pi}{2} $ radianos.

Passo 5

Com o módulo e o argumento, podemos escrever $ i $ na forma polar:
i

Passo 6

Para encontrar as raízes cúbicas de $ i $, usamos a fórmula das raízes $ n $-ésimas de um número complexo:
i
Aqui, $ n = 3 $, $ r = 1 $, e $ \theta = \frac{\pi}{2} $.

Passo 7

Vamos calcular para cada valor de $ k = 0, 1, 2 $:
Para $ k = 0 $:
k = 0, 1, 2
Para $ k = 1 $:
k = 0
Para $ k = 2 $:
raiz[3]1 ( cos ( pi2 + 03 ) + i sin ( pi2 + 03 ) ) = cos ( pi6 ) + i sin ( pi6 )

Passo 8

Vamos simplificar cada uma das raízes:
Para $ k = 0 $:
k = 0
Então, a raiz é $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $.
Para $ k = 1 $:
cos ( pi6 ) = raiz32, sin ( pi6 ) = 12
Então, a raiz é $ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $.
Para $ k = 2 $:
raiz32 + 12i
Então, a raiz é $ 0 - i = -i $.

Resposta

As raízes cúbicas de $ i $ são:
i
A representação gráfica dessas raízes no plano complexo forma um triângulo equilátero no círculo unitário, com um vértice em $ -i $ e os outros dois vértices nos pontos $ \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $ e $ -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i $.

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