Calcule os seguintes limites:
lim x 0^+ 2x^2+ln x

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
limxto0^+2x^2+ln x
Aqui o conteúdo é limite de função que envolve potências de x com expoente dependente de ln x. Para resolver, vamos usar propriedades de potência e exponencial para comparar taxas de crescimento.

Passo 2

Observe que
x^2+ln x=x^2cdot x^ln x
Assim o denominador separa um fator polinomial x^2 e outro que envolve x^ln x.

Passo 3

Para reescrever x^ln x usamos a definição de exponencial:
x^ln x=e^lnl(x^ln xr)=e^ln xcdotln x=e^(ln x)^2
Logo a expressão vira
2x^2,e^(ln x)^2=2,x^-2,e^-(ln x)^2

Passo 4

Definimos t=-ln x, que tende a +infty quando xto0^+. Então
x^-2=e^-2ln x=e^2t,
(ln x)^2=t^2
Substituindo, o limite é
2,e^2t-t^2=2,e^-t^2+2t
Como para tto+infty o termo -t^2 domina, temos e^-t^2+2tto0.

Passo 5

Portanto, o limite original vale
0

Resposta

0

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