Prove que o produto de dois números complexos é zero se, e somente se, um dos fatores é zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para provar que o produto de dois números complexos é zero se, e somente se, um dos fatores é zero. Isso significa que precisamos mostrar duas coisas: primeiro, se o produto é zero, então pelo menos um dos números multiplicados é zero; e segundo, se um dos números é zero, então o produto também é zero. Para isso, vamos usar propriedades básicas dos números complexos e da multiplicação deles.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um número complexo. Um número complexo é da forma $ z = a + bi $, onde $ a $ e $ b $ são números reais, e $ i $ é a unidade imaginária que satisfaz $ i^2 = -1 $.
Passo 3
Vamos considerar dois números complexos quaisquer:
onde $ a, b, c, d $ são números reais. Nosso objetivo é provar que:
Passo 4
Vamos calcular o produto $ z_1 \cdot z_2 $:
Sabemos que $ i^2 = -1 $, então:
Para que esse produto seja zero, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser iguais a zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Agora, vamos analisar esse sistema. Precisamos mostrar que, para essas duas equações serem verdadeiras, necessariamente $ z_1 = 0 $ ou $ z_2 = 0 $. Vamos supor que nenhum dos números é zero, ou seja, $ z_1 \neq 0 $ e $ z_2 \neq 0 $. Isso implica que pelo menos um dos coeficientes $ a $ ou $ b $ é diferente de zero, e pelo menos um de $ c $ ou $ d $ é diferente de zero.
Passo 6
Vamos tentar resolver o sistema de equações. Vamos isolar uma das variáveis. Por exemplo, da primeira equação:
Substituindo $ c $ na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por $ a $ para eliminar o denominador:
Passo 7
Agora, temos duas possibilidades para essa equação ser verdadeira:
- $ d = 0 $
- $ a^2 + b^2 = 0 $
Vamos analisar cada caso:
Caso 1: $ d = 0 $
Se $ d = 0 $, voltando à primeira equação $ ac - bd = ac = 0 $. Como $ a \neq 0 $ (porque assumimos $ z_1 \neq 0 $), isso implica que $ c = 0 $. Portanto, $ z_2 = c + di = 0 + 0i = 0 $, o que significa que $ z_2 = 0 $.
Caso 2: $ a^2 + b^2 = 0 $
Para que $ a^2 + b^2 = 0 $, tanto $ a $ quanto $ b $ devem ser zero, ou seja, $ z_1 = 0 $. Mas isso contradiz nossa suposição inicial de que $ z_1 \neq 0 $.
Passo 8
Então, a única possibilidade que não leva a uma contradição é o Caso 1, onde $ d = 0 $ e, consequentemente, $ c = 0 $. Isso nos mostra que, se o produto $ z_1 \cdot z_2 = 0 $, então necessariamente um dos números, neste caso $ z_2 $, deve ser zero.
Passo 9
Agora, precisamos verificar a outra direção: se $ z_1 = 0 $ ou $ z_2 = 0 $, então $ z_1 \cdot z_2 = 0 $.
- Se $ z_1 = 0 $:
- Se $ z_2 = 0 $:
Em ambos os casos, o produto é zero.
Resposta
Portanto, provamos que o produto de dois números complexos é zero se, e somente se, um dos fatores é zero.