Exercício 4 Sendo z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}, calcule \left|\sum_{n=1}^{60} z^{n}\right|.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte informação:
  • z=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}.
    O que é pedido:
  • Calcular o módulo \left|\displaystyle\sum_{n=1}^{60} z^{n}\right|.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever z em forma polar (isso facilita trabalhar com potências). Para isso precisamos do módulo e do argumento de 1+i.
O módulo de 1+i é
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Como z=\dfrac{1+i}{\sqrt{2}}, o módulo de z é
|z|=\frac{|1+i|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1.
O argumento de 1+i é \dfrac{\pi}{4} (porque a parte real e imaginária são iguais e positivas). Assim
z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=e^{i\pi/4}.
Breve explicação (fórmula usada): a forma exponencial de um número complexo é re^{i\theta}, onde r é o módulo e \theta é o argumento; aqui r=1 e \theta=\dfrac{\pi}{4}. A relação e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta é a fórmula de Euler, que estamos usando para passar entre formas.

Passo 3

Agora expressamos as potências:
z^{n}=\left(e^{i\pi/4}\right)^{n}=e^{i n\pi/4}.
Note que
z^{8}=e^{i8\pi/4}=e^{i2\pi}=1.
Isso significa que as potências de z são periódicas de período 8: os valores de z^{n} repetem-se a cada 8 termos. Essa periodicidade vai simplificar muito a soma.

Passo 4

Use a periodicidade para reduzir a soma. Escrevemos 60 em termos de 8:
60 = 7\cdot 8 + 4.
Assim a soma dos 60 termos se separa em 7 ciclos completos de 8 termos mais os primeiros 4 termos do oitavo ciclo:
\sum_{n=1}^{60} z^{n}=7\sum_{k=1}^{8} z^{k}+\sum_{n=1}^{4} z^{n}.
Mas como z^{8}=1, a soma de um ciclo de 8 termos é zero. Uma forma direta de ver isso é usar a soma geométrica:
\sum_{k=1}^{8} z^{k}=z\cdot\frac{1-z^{8}}{1-z}=z\cdot\frac{1-1}{1-z}=0.
Portanto todos os ciclos completos somam zero e sobra apenas
\sum_{n=1}^{60} z^{n}=\sum_{n=1}^{4} z^{n}.

Passo 5

Calculemos explicitamente os quatro primeiros termos usando z^{n}=e^{i n\pi/4}. Para cada n:
z^{1}=e^{i\pi/4}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}, \qquad z^{2}=e^{i\pi/2}=i,
z^{3}=e^{i3\pi/4}=\frac{-1+i}{\sqrt{2}}, \qquad z^{4}=e^{i\pi}=-1.
Somando:
\sum_{n=1}^{4} z^{n}=\frac{1+i}{\sqrt{2}}+i+\frac{-1+i}{\sqrt{2}}-1.
Agrupando os termos com \dfrac{1}{\sqrt{2}} e os demais:
\frac{1+i}{\sqrt{2}}+\frac{-1+i}{\sqrt{2}}=\frac{(1-1)+(i+i)}{\sqrt{2}}=\frac{2i}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\,i.
Logo
\sum_{n=1}^{60} z^{n}=\sqrt{2}\,i + i -1 = i(\sqrt{2}+1)-1.

Passo 6

Agora precisamos do módulo do número complexo S=i(\sqrt{2}+1)-1. Se escrevermos S=a+ib, temos a=-1 e b=\sqrt{2}+1. A regra do módulo é
|S|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}.
Aplicando:
|S|=\sqrt{(-1)^{2}+(\sqrt{2}+1)^{2}}=\sqrt{1+\bigl(\sqrt{2}+1\bigr)^{2}}.
Calculemos (\sqrt{2}+1)^{2}:
(\sqrt{2}+1)^{2}=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}.
Portanto
|S|=\sqrt{1+3+2\sqrt{2}}=\sqrt{4+2\sqrt{2}}.
Podemos também reescrever de forma fatorada:
|S|=\sqrt{2}\,\sqrt{2+\sqrt{2}}.

Passo 7

Resumo: a soma reduziu-se aos primeiros quatro termos por causa da periodicidade z^{8}=1, o que permitiu calcular explicitamente e chegar à expressão final para o módulo.

Resposta

\sqrt{4+2\sqrt{2}}

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