O argumento de 1+i é \dfrac{\pi}{4} (porque a parte real e imaginária são iguais e positivas). Assim
z=\frac{1+i}{\sqrt{2}}=e^{i\pi/4}.
Breve explicação (fórmula usada): a forma exponencial de um número complexo é re^{i\theta}, onde r é o módulo e \theta é o argumento; aqui r=1 e \theta=\dfrac{\pi}{4}. A relação e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta é a fórmula de Euler, que estamos usando para passar entre formas.
Passo 3
Agora expressamos as potências:
z^{n}=\left(e^{i\pi/4}\right)^{n}=e^{i n\pi/4}.
Note que
z^{8}=e^{i8\pi/4}=e^{i2\pi}=1.
Isso significa que as potências de z são periódicas de período 8: os valores de z^{n} repetem-se a cada 8 termos. Essa periodicidade vai simplificar muito a soma.
Passo 4
Use a periodicidade para reduzir a soma. Escrevemos 60 em termos de 8:
60 = 7\cdot 8 + 4.
Assim a soma dos 60 termos se separa em 7 ciclos completos de 8 termos mais os primeiros 4 termos do oitavo ciclo:
Resumo: a soma reduziu-se aos primeiros quatro termos por causa da periodicidade z^{8}=1, o que permitiu calcular explicitamente e chegar à expressão final para o módulo.