Calcule as raízes de P(x)=x^3-4 x^2+9 x-10, sabendo que P(x) é divisível por x-2.

Passo 1

O enunciado dá o polinômio P(x)=x^3-4x^2+9x-10 e diz que ele é divisível por x-2. O conteúdo aqui é o Teorema do Resto (ou Teorema da Fatoração), que diz que se P(a)=0 então (x-a) é fator de P(x). Vamos usar isso para fatorar P(x) em (x-2) vezes um polinômio de grau 2 e depois aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar as outras raízes.

Passo 2

Pelo Teorema do Resto, como P(x) é divisível por x-2, temos P(2)=0. Vamos dividir P(x) por (x-2) usando divisão sintética.

Passo 3

Coeficientes de : . Montando a divisão sintética com :
A última linha dá o quociente e resto , confirmando a divisibilidade.

Passo 4

Agora resolvemos a equação quadrática
x^2 - 2x + 5 = 0
pela fórmula de Bhaskara:
De<a = (-2)^2 - 4cdot1cdot5 = 4 - 20 = -16,
x = 2 pm raiz-162 = 2 pm 4,i2 = 1 pm 2,i

Resposta

As raízes de P(x) são
x = 2, x = 1 + 2i, x = 1 - 2i.

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