Seja
o sólido limitado pelas superfícies
e
.
- Esboce
.
- Calcule, por integral tripla, o volume do sólido
.
Passo 1
O sólido
é determinado pelas superfícies
O conteúdo aqui é o cálculo de volume por integral tripla. Vamos precisar:
– desenhar as projeções para entender a região;
– escolher uma ordem de integração conveniente;
– determinar os limites em cada variável;
– avaliar a integral iterada.
– desenhar as projeções para entender a região;
– escolher uma ordem de integração conveniente;
– determinar os limites em cada variável;
– avaliar a integral iterada.
Passo 2
Para esboçar
, note que
– é um parabolóide cilíndrico voltado para baixo, cortando o plano
quando
, ou seja, em
.
– e
são os planos coordenados.
– é um plano inclinado que intercepta o eixo
em
(quando
) e o eixo
em
(quando
).
A região fica assim “embaixo” de , “atrás” de
, e dentro dos planos
,
. Na projeção no plano
, vemos
e
. Para cada ponto
dessa faixa,
.
–
–
–
A região fica assim “embaixo” de
Passo 3
Escolhemos a ordem de integração
Assim os limites são:
varia de
a
(pela interseção de
com
);
varia de
a
;
varia de
a
.
Passo 4
Avaliamo primeiro em
:
Logo o volume vira
Agora em
:
Expandindo,
portanto o integrando em
fica
Passo 5
Resta calcular
Como
e
obtemos