Seja W o sólido limitado pelas superfícies z+x^2=4, y+z=4, y=0 e z=0.
  1. Esboce W.
  2. Calcule, por integral tripla, o volume do sólido W.

Passo 1

O sólido W é determinado pelas superfícies
z = 4 - x^2, y = 4 - z, y = 0, z = 0
O conteúdo aqui é o cálculo de volume por integral tripla. Vamos precisar:
– desenhar as projeções para entender a região;
– escolher uma ordem de integração conveniente;
– determinar os limites em cada variável;
– avaliar a integral iterada.

Passo 2

Para esboçar W, note que
z=4-x^2 é um parabolóide cilíndrico voltado para baixo, cortando o plano z=0 quando x^2=4, ou seja, em x=pm2.
z=0 e y=0 são os planos coordenados.
y=4-z é um plano inclinado que intercepta o eixo y em y=4 (quando z=0) e o eixo z em z=4 (quando y=0).
A região fica assim “embaixo” de z=4-x^2, “atrás” de y=4-z, e dentro dos planos y=0, z=0. Na projeção no plano xz, vemos xin[-2,2] e 0<= z<=4-x^2. Para cada ponto (x,z) dessa faixa, 0<= y<=4-z.

Passo 3

Escolhemos a ordem de integração
integralx=-2^2integralz=0^4-x^2integraly=0^4-zdy,dz,dx
Assim os limites são:
x varia de -2 a 2 (pela interseção de z=4-x^2 com z=0);
z varia de 0 a 4-x^2;
y varia de 0 a 4-z.

Passo 4

Avaliamo primeiro em y:
integraly=0^4-zdy = 4 - z
Logo o volume vira
integral-2^2integral0^4-x^2(4 - z),dz,dx
Agora em z:
integral0^4-x^2(4 - z),dz = l[4z - tfracz^22r]0^4-x^2 =4(4 - x^2) - tfrac(4 - x^2)^22
Expandindo,
4(4 - x^2)=16-4x^2, tfrac(4 - x^2)^22 =tfrac16 -8x^2 +x^42 =8-4x^2+tfracx^42,
portanto o integrando em x fica
16-4x^2 ;-;l(8-4x^2+tfracx^42r) =8 - tfracx^42

Passo 5

Resta calcular
integral-2^2l(8 - tfracx^42r),dx =8integral-2^2dx ;-;tfrac12integral-2^2x^4,dx
Como integral-2^2dx=4 e integral-2^2x^4,dx=2integral0^2x^4,dx =2cdottfrac2^55=tfrac645, obtemos
8cdot4 ;-;tfrac12cdottfrac645 =32 - tfrac325 =tfrac160-325 =tfrac1285

Resposta

O volume de W é 1285 é

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