Use TFC 1 para encontrar a derivada das funções
h(x)=integral1^e^x ln t dt

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função h(x) = integral1^e^x ln t , dt e precisa encontrar a derivada dela usando o Teorema Fundamental do Cálculo, especificamente a parte 1 (TFC 1). Esse teorema conecta derivadas e integrais, então vamos usar ele para resolver nosso problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que o Teorema Fundamental do Cálculo Parte 1 nos diz. Ele afirma que se temos uma função definida por uma integral com um limite superior que depende de x , então a derivada dessa função é a função dentro da integral avaliada nesse limite vezes a derivada do limite em relação a x . Em fórmulas, se F(x) = integrala^g(x) f(t) , dt , então F'(x) = f(g(x)) cdot g'(x) .

Passo 3

No nosso caso, a função dentro da integral é ln t e o limite superior é e^x . Aplicando o teorema, vamos substituir na fórmula:
h'(x) = ln(e^x) cdot ddx(e^x)

Passo 4

Agora, vamos simplificar cada parte. Primeiro, ln(e^x) . Sabemos que o logaritmo natural de e elevado a algo simplifica para esse “algo”. Então:
ln(e^x) = x

Passo 5

Em seguida, vamos derivar e^x em relação a x . A derivada de e^x é simplesmente e^x . Então:
ddx(e^x) = e^x

Passo 6

Agora, juntando as partes simplificadas:
h'(x) = x cdot e^x

Resposta

A derivada da função é h'(x) = x cdot e^x .

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