(PUC) Os valores das constantes a e b, para os quais 1x^2-5 x+6=ax-2+bx-3 para todo x notin2,3, são tais que o produto ab vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as constantes a e b que satisfazem a equação:
1x^2-5x+6 = ax-2 + bx-3
Isso está relacionado ao conteúdo de frações parciais, que é uma técnica utilizada para simplificar frações racionais complexas em uma soma de frações mais simples. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a fração original em partes menores.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração à esquerda:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Então, a expressão fica:
1(x - 2)(x - 3) = ax - 2 + bx - 3

Passo 3

Vamos somar as frações do lado direito. Para isso, precisamos de um denominador comum, que é (x - 2)(x - 3) :
a(x - 3)(x - 2)(x - 3) + b(x - 2)(x - 2)(x - 3) = a(x - 3) + b(x - 2)(x - 2)(x - 3)
Então temos:
1(x - 2)(x - 3) = a(x - 3) + b(x - 2)(x - 2)(x - 3)

Passo 4

Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
1 = a(x - 3) + b(x - 2)
Agora, vamos expandir e simplificar:
1 = ax - 3a + bx - 2b
1 = (a + b)x - (3a + 2b)

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo x , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
a + b = 0 (coeficiente de x)
-3a - 2b = 1 (termo constante)

Passo 6

Agora temos um sistema de equações:
a + b = 0 -3a - 2b = 1
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar a em função de b :
a = -b
Substituindo na segunda equação:
-3(-b) - 2b = 1
3b - 2b = 1
b = 1
Então, a = -1 .

Passo 7

Agora, queremos saber o produto ab :
ab = (-1)(1) = -1

Resposta

(B) -1

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