(PUC) Os valores das constantes a e , para os quais para todo , são tais que o produto ab vale:
(A) -2
(B) -1
(C) 0
(D) 1
(E) 2
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para encontrar as constantes e que satisfazem a equação:
Isso está relacionado ao conteúdo de frações parciais, que é uma técnica utilizada para simplificar frações racionais complexas em uma soma de frações mais simples. Para resolver isso, vamos precisar entender como decompor a fração original em partes menores.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração à esquerda:
Então, a expressão fica:
Passo 3
Vamos somar as frações do lado direito. Para isso, precisamos de um denominador comum, que é :
Então temos:
Passo 4
Como os denominadores são iguais, podemos igualar os numeradores:
Agora, vamos expandir e simplificar:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Ou seja:
Passo 6
Agora temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Da primeira equação, podemos expressar a em função de b :