Calcule as raízes da seguinte equação: 4 x^{4}-9 x^{2}+2=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
4x^{4}-9x^{2}+2=0
e pede para calcular as raízes, ou seja, todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira. Informações relevantes: a equação envolve potências de x até a quarta potência e aparecem apenas potências pares ( x^{4} e x^{2}). O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a equação.

Passo 2

Observação estratégica (por quê essa observação ajuda): como só aparecem potências pares de x, podemos simplificar a equação fazendo a substituição
y = x^{2}.
Isso transforma a equação em uma equação quadrática em y, que é mais fácil de resolver. A ideia é resolver para y e depois voltar para x usando x=\pm\sqrt{y} quando y\ge 0.

Passo 3

Fazendo a substituição y=x^{2} na equação original obtemos a quadrática
4y^{2}-9y+2=0.
Agora vamos resolver essa equação quadrática. Para isso usamos a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara), que dá as raízes de uma quadrática ay^{2}+by+c=0 como
y=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde a, b e c são os coeficientes da equação.

Passo 4

Aqui a=4, b=-9 e c=2. Calculemos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2}-4ac = (-9)^{2}-4\cdot 4\cdot 2 = 81-32 = 49.
A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=\sqrt{49}=7. Agora aplicamos a fórmula:
y=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-(-9)\pm 7}{2\cdot 4}=\frac{9\pm 7}{8}.
Portanto as duas soluções para y são
y_{1}=\frac{9+7}{8}=\frac{16}{8}=2
e
y_{2}=\frac{9-7}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}.

Passo 5

Voltando à variável original x, lembramos que y=x^{2}. Então temos dois casos:
x^{2}=2
e
x^{2}=\frac{1}{4}.
Para resolver equações do tipo x^{2}=k com k\ge 0, usamos a propriedade da raiz quadrada: as soluções são x=\pm\sqrt{k}. Isso porque tanto (\sqrt{k})^{2}=k quanto (-\sqrt{k})^{2}=k.

Passo 6

Aplicando isso aos nossos y:
  • De x^{2}=2 obtemos
x=\pm\sqrt{2}.
  • De x^{2}=\dfrac{1}{4} obtemos
x=\pm\sqrt{\tfrac{1}{4}}=\pm \tfrac{1}{2}.

Passo 7

Checagem rápida (para gerar confiança): para x^{2}=2 temos x^{4}=4, então
4x^{4}-9x^{2}+2 = 4\cdot 4 -9\cdot 2 +2 = 16-18+2 =0.
Para x^{2}=\tfrac{1}{4} temos x^{4}=\tfrac{1}{16}, então
4x^{4}-9x^{2}+2 = 4\cdot \tfrac{1}{16} -9\cdot \tfrac{1}{4} +2 = \tfrac{1}{4}-\tfrac{9}{4}+2 =0.
Ambos conferem, portanto as soluções encontradas estão corretas.

Resposta

x=\sqrt{2}
x=-\sqrt{2}
x=\dfrac{1}{2}
x=-\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados