Calcule as raízes da seguinte equação:
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para calcular as raízes, ou seja, todos os valores de
que tornam essa igualdade verdadeira. Informações relevantes: a equação envolve potências de
até a quarta potência e aparecem apenas potências pares (
e
). O objetivo é encontrar todos os
que satisfazem a equação.
Passo 2
Observação estratégica (por quê essa observação ajuda): como só aparecem potências pares de
, podemos simplificar a equação fazendo a substituição
Isso transforma a equação em uma equação quadrática em
, que é mais fácil de resolver. A ideia é resolver para
e depois voltar para
usando
quando
.
Passo 3
Fazendo a substituição
na equação original obtemos a quadrática
Agora vamos resolver essa equação quadrática. Para isso usamos a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara), que dá as raízes de uma quadrática
como
onde
,
e
são os coeficientes da equação.
Passo 4
Aqui
,
e
. Calculemos o discriminante
:
A raiz quadrada do discriminante é
. Agora aplicamos a fórmula:
Portanto as duas soluções para
são
e
Passo 5
Voltando à variável original
, lembramos que
. Então temos dois casos:
e
Para resolver equações do tipo
com
, usamos a propriedade da raiz quadrada: as soluções são
. Isso porque tanto
quanto
.
Passo 6
Aplicando isso aos nossos
:
- De
obtemos
- De
obtemos
Passo 7
Checagem rápida (para gerar confiança): para
temos
, então
Para
temos
, então
Ambos conferem, portanto as soluções encontradas estão corretas.