Dada a expressão a seguir, qual è sua forma mais simplificada?
\frac{4.3^{5} \cdot 4^{6} \cdot 5^{7}}{16 \cdot 27 \cdot 3^{2} \cdot 4^{6} \cdot 5^{6}}
a) 5
b) 6
c) 4
d) 7
e) 9

Passo 1

O enunciado dá a expressão abaixo e pede a sua forma mais simplificada:
\frac{4\cdot 3^{5} \cdot 4^{6} \cdot 5^{7}}{16 \cdot 27 \cdot 3^{2} \cdot 4^{6} \cdot 5^{6}}
Informações relevantes fornecidas:
\text{Numerador} = 4\cdot 3^{5}\cdot 4^{6}\cdot 5^{7}
\text{Denominador} = 16\cdot 27\cdot 3^{2}\cdot 4^{6}\cdot 5^{6}
O que se pede: escrever essa fração na forma mais simples possível (fazer cancelamentos e reduzir).

Passo 2

Conceitos importantes que vamos usar (explicado passo a passo, sem pular etapas):
  • Regra de potências para mesma base na multiplicação: a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}.Aqui isso explica por que podemos somar ou subtrair expoentes quando multiplicamos/dividimos potências de mesma base.
  • Regra de potências para divisão: \frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n},válido quando a\neq 0. Na prática usamos isso para cancelar fatores com mesma base.
  • Reconhecer números como potências: 16=4^{2} e 27=3^{3}. Isso nos ajuda a ver potências iguais no numerador e denominador para cancelar.
    Essas regras permitem cancelar fatores idênticos entre numerador e denominador de forma segura.

Passo 3

Reescrever o denominador usando potências com bases claras (usar que 27=3^{3} e deixar explícito 16):
16\cdot 27\cdot 3^{2}\cdot 4^{6}\cdot 5^{6} = 16\cdot 3^{3}\cdot 3^{2}\cdot 4^{6}\cdot 5^{6}.
Agora, usando a regra \;3^{3}\cdot 3^{2}=3^{3+2}=3^{5}, o denominador fica
16\cdot 3^{5}\cdot 4^{6}\cdot 5^{6}.

Passo 4

Colocar lado a lado numerador e denominador já organizados:
\frac{4\cdot 3^{5}\cdot 4^{6}\cdot 5^{7}}{16\cdot 3^{5}\cdot 4^{6}\cdot 5^{6}}.
Agora identificamos fatores idênticos que podem ser cancelados:
  • 3^{5} no numerador e 3^{5} no denominador → cancelam-se totalmente.
  • 4^{6} no numerador e 4^{6} no denominador → cancelam-se totalmente.
  • 5^{7} no numerador e 5^{6} no denominador → pela regra de divisão de potências: \frac{5^{7}}{5^{6}}=5^{7-6}=5^{1}=5.
Depois desses cancelamentos, resta:
\frac{4\cdot 5}{16}.

Passo 5

Simplificar a fração \dfrac{4\cdot 5}{16}:
  • Primeiro multiplicar no numerador: 4\cdot 5=20.
  • Então temos \dfrac{20}{16}.
  • Reduzir a fração dividindo numerador e denominador por 4 (máximo divisor comum evidente): \frac{20}{16}=\frac{20\div 4}{16\div 4}=\frac{5}{4}.
Também podemos escrever como decimal: \dfrac{5}{4}=1{,}25, mas a forma fracionária \dfrac{5}{4} é mais simples e exata.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{4}

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