Calcule o ramo principal:
(1+i)^{i}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o ramo principal de (1+i)^{i}.
Informações dadas: o número base é 1+i (um complexo) e o expoente é i (a unidade imaginária). Queremos a potência complexa usando o ramo principal (ou seja, usar o logaritmo principal do número complexo).

Passo 2

Recordando a definição prática que vamos usar (explico devagar): para complexos z e w, a potência principal é definida por
z^{w} = e^{\,w\Log z},
onde \Log z é o logaritmo complexo principal de z. Aqui \Log z é dado por
\Log z = \ln|z| + i\Arg z,
com |z| sendo o módulo (distância até a origem) e \Arg z o argumento principal, escolhido no intervalo (-\pi,\pi]. Essa é a fórmula que permite transformar uma potência complexa em uma exponencial usual — muito útil!

Passo 3

Calcular o módulo e o argumento de 1+i.
O módulo é
|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
O argumento de 1+i (ângulo formado com o eixo real positivo) é \pi/4, porque o ponto (1,1) está na primeira quadrante e tem mesma coordenada em x e y. Portanto o argumento principal é
\Arg(1+i)=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Agora escrevemos o logaritmo principal de 1+i:
\Log(1+i)=\ln|1+i|+i\Arg(1+i)=\ln\!\big(\sqrt{2}\big)+i\frac{\pi}{4}.
Uma observação útil: \ln\big(\sqrt{2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln 2. Vou usar isso adiante.

Passo 5

Usamos a definição da potência principal:
(1+i)^{i}=e^{\,i\Log(1+i)}.
Substituíndo \Log(1+i) obtido no passo anterior:
(1+i)^{i}=e^{\,i\left(\ln\!\big(\sqrt{2}\big)+i\frac{\pi}{4}\right)}.

Passo 6

Distribuímos o i no expoente (lembre: i\cdot i = -1):
i\left(\ln\!\big(\sqrt{2}\big)+i\frac{\pi}{4}\right)=i\ln\!\big(\sqrt{2}\big)+i^{2}\frac{\pi}{4}=i\ln\!\big(\sqrt{2}\big)-\frac{\pi}{4}.
Então
(1+i)^{i}=e^{\,i\ln\!\big(\sqrt{2}\big)-\frac{\pi}{4}}.

Passo 7

Separando a parte real do expoente da parte imaginária e usando e^{a+ib}=e^{a}(\cos b + i\sin b), obtemos
(1+i)^{i}=e^{-\frac{\pi}{4}}\;e^{\,i\ln\!\big(\sqrt{2}\big)} = e^{-\frac{\pi}{4}}\big(\cos\!\big(\ln\!\big(\sqrt{2}\big)\big)+i\sin\!\big(\ln\!\big(\sqrt{2}\big)\big)\big).
Substituindo \ln\!\big(\sqrt{2}\big)=\tfrac{1}{2}\ln 2, uma forma mais comum é
(1+i)^{i}=e^{-\frac{\pi}{4}}\Big(\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)+i\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)\Big).

Passo 8

(se quiser uma aproximação numérica rápida para conferir na prova) Calculando aproximadamente:
e^{-\frac{\pi}{4}}\approx 0,455938,\qquad \tfrac{1}{2}\ln 2\approx 0,346574,
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(1+i)^{i}\approx 0{,}42883 + 0{,}15480\,i.

Resposta

(1+i)^{i}=e^{-\frac{\pi}{4}}\Big(\cos\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)+i\sin\!\big(\tfrac{1}{2}\ln 2\big)\Big)

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