Calcule o ramo principal:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o ramo principal de
.
Informações dadas: o número base é (um complexo) e o expoente é
(a unidade imaginária). Queremos a potência complexa usando o ramo principal (ou seja, usar o logaritmo principal do número complexo).
Informações dadas: o número base é
Passo 2
Recordando a definição prática que vamos usar (explico devagar): para complexos
e
, a potência principal é definida por
onde
é o logaritmo complexo principal de
. Aqui
é dado por
com
sendo o módulo (distância até a origem) e
o argumento principal, escolhido no intervalo
. Essa é a fórmula que permite transformar uma potência complexa em uma exponencial usual — muito útil!
Passo 3
Calcular o módulo e o argumento de
.
O módulo é
O módulo é
O argumento de
(ângulo formado com o eixo real positivo) é
, porque o ponto
está na primeira quadrante e tem mesma coordenada em
e
. Portanto o argumento principal é
Passo 4
Agora escrevemos o logaritmo principal de
:
Uma observação útil:
. Vou usar isso adiante.
Passo 5
Usamos a definição da potência principal:
Substituíndo
obtido no passo anterior:
Passo 6
Distribuímos o
no expoente (lembre:
):
Então
Passo 7
Separando a parte real do expoente da parte imaginária e usando
, obtemos
Substituindo
, uma forma mais comum é
Passo 8
(se quiser uma aproximação numérica rápida para conferir na prova) Calculando aproximadamente:
logo