Determine
de modo que a divisão de
por
apresente resto igual a 7 .
Passo 1
O enunciado pede: determinar o valor de
tal que a divisão do polinômio
pelo polinômio
tenha resto igual a
.
Informações dadas:
Passo 2
Conhecimento importante (teorema do resto) — vou explicar com calma:
- Quando dividimos um polinômio
por um binômio da forma , o resto da divisão é simplesmente o valor do polinômio avaliado em . - Em forma matemática: se dividimos
por , o resto é .
Por que isso ocorre (intuição simples)?
- A divisão diz que existe um polinômio quociente
e um número (resto) tais que
- Se substituirmos
nessa igualdade, o termo some (porque ) e sobra . Assim o resto é .
No nosso caso,
tem a forma
com
. Logo o resto da divisão é
. Para que o resto seja
, precisamos de
Passo 3
Agora vamos calcular
substituindo
em
. Vou fazer isso passo a passo, mostrando cada termo:
Simplificando potenciações com
(porque
para qualquer
):
Passo 4
Agrupando termos semelhantes — explicando o que são termos semelhantes:
- Termos que têm a mesma variável
são termos "com " e somam-se os coeficientes. - Termos sem
são termos constantes e somam-se separadamente.
Na expressão
separamos constantes e coeficientes de
:
- Coeficientes de
: . - Constantes:
.
Calcule os coeficientes de
:
Calcule as constantes:
Portanto
Passo 5
Impondo a condição do problema: queremos resto
, ou seja
. Assim temos a equação em
:
Agora resolvemos essa equação linear de primeiro grau. Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo
em
,
que é exatamente o resto pedido. Está consistente.