Determine a de modo que a divisão de f(x)=x^{4}-2 a x^{3}+(a+2) x^{2}+3 a+1 por g(x)=x-1 apresente resto igual a 7 .

Passo 1

O enunciado pede: determinar o valor de a tal que a divisão do polinômio
f(x)=x^{4}-2 a x^{3}+(a+2) x^{2}+3 a+1
pelo polinômio
g(x)=x-1
tenha resto igual a 7.
Informações dadas:
f(x)=x^{4}-2 a x^{3}+(a+2) x^{2}+3 a+1, \qquad g(x)=x-1, \qquad \text{resto desejado }=7.

Passo 2

Conhecimento importante (teorema do resto) — vou explicar com calma:
  • Quando dividimos um polinômio f(x) por um binômio da forma (x-c), o resto da divisão é simplesmente o valor do polinômio avaliado em x=c.
  • Em forma matemática: se dividimos f(x) por (x-c), o resto é f\text{(c)}.
Por que isso ocorre (intuição simples)?
  • A divisão diz que existe um polinômio quociente q(x) e um número (resto) r tais que
f(x)=(x-c)q(x)+r.
  • Se substituirmos x=c nessa igualdade, o termo (x-c)q(x) some (porque x-c=0) e sobra f\text{(c)}=r. Assim o resto é f\text{(c)}.
No nosso caso, g(x)=x-1 tem a forma (x-c) com c=1. Logo o resto da divisão é f(1). Para que o resto seja 7, precisamos de
f(1)=7.

Passo 3

Agora vamos calcular f(1) substituindo x=1 em f(x). Vou fazer isso passo a passo, mostrando cada termo:
f(1)=1^{4}-2a\cdot 1^{3}+(a+2)\cdot 1^{2}+3a+1.
Simplificando potenciações com 1 (porque 1^n=1 para qualquer n):
f(1)=1-2a+(a+2)+3a+1.

Passo 4

Agrupando termos semelhantes — explicando o que são termos semelhantes:
  • Termos que têm a mesma variável a são termos "com a" e somam-se os coeficientes.
  • Termos sem a são termos constantes e somam-se separadamente.
Na expressão
1-2a+(a+2)+3a+1
separamos constantes e coeficientes de a:
  • Coeficientes de a: -2a + a + 3a.
  • Constantes: 1 + 2 + 1.
Calcule os coeficientes de a:
-2a + a + 3a = (-2 + 1 + 3)a = 2a.
Calcule as constantes:
1 + 2 + 1 = 4.
Portanto
f(1)=4+2a.

Passo 5

Impondo a condição do problema: queremos resto 7, ou seja f(1)=7. Assim temos a equação em a:
4+2a=7.
Agora resolvemos essa equação linear de primeiro grau. Subtraindo 4 de ambos os lados:
2a=7-4,
2a=3.
Dividindo ambos os lados por 2:
a=\frac{3}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): substituindo a=\frac{3}{2} em f(1)=4+2a,
f(1)=4+2\cdot\frac{3}{2}=4+3=7,
que é exatamente o resto pedido. Está consistente.

Resposta

a=\dfrac{3}{2}

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