Calcule a reduzida S_{n} da série \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n-1}{n!} e mostre que seu limite é 1 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma parcial
S_{n} = \sum_{k=2}^{n} \frac{k-1}{k!}
e mostrar que \lim_{n\to\infty}S_{n}=1. O conteúdo envolve séries numéricas e o truque de telescópico para somar termos em fatoriais.

Passo 2

Para usar telescópico, reescrevemos o termo geral como diferença de dois termos:
\frac{k-1}{k!} = \frac{k}{k!} - \frac{1}{k!} = \frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!}.

Passo 3

Substituindo em S_{n}, temos
S_{n} = \sum_{k=2}^{n} \Bigl(\frac{1}{(k-1)!} - \frac{1}{k!}\Bigr).

Passo 4

Ao desenvolver, a soma telescopa:
S_{n} = \bigl(\tfrac{1}{1!}-\tfrac{1}{2!}\bigr) + \bigl(\tfrac{1}{2!}-\tfrac{1}{3!}\bigr) + \cdots + \bigl(\tfrac{1}{(n-1)!}-\tfrac{1}{n!}\bigr) = \frac{1}{1!} - \frac{1}{n!} = 1 - \frac{1}{n!}.

Passo 5

Como \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n!}=0, segue
\lim_{n\to\infty}S_{n} = 1 - 0 = 1.

Resposta

S_{n} = 1 - \frac{1}{n!}, \qquad \lim_{n\to\infty}S_{n} = 1.

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