Use o critério de Cauchy para provar que \sum a_{n} converge se \sum\left|a_{n}\right| converge.

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que, se
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl|a_{n}\bigr|
converge, então
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
também converge. O método sugerido é usar o critério de Cauchy para séries: uma série \sum x_{n} converge se, e somente se, para todo \varepsilon>0 existe N tal que, para quaisquer p>q\ge N,
\Bigl|\sum_{k=q+1}^{p}x_{k}\Bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Como \sum|a_{n}| converge, pela forma de Cauchy aplicada a essa série, temos:
para todo \varepsilon>0 existe N tal que, se p>q\ge N, então
\sum_{k=q+1}^{p}\bigl|a_{k}\bigr|<\varepsilon.

Passo 3

Agora aplicamos a desigualdade triangular à soma parcial de \sum a_{n}. Para p>q\ge N,
\Bigl|\sum_{k=q+1}^{p}a_{k}\Bigr| \;\le\; \sum_{k=q+1}^{p}\bigl|a_{k}\bigr| \;<\;\varepsilon.

Passo 4

A desigualdade acima mostra que \sum a_{n} satisfaz o critério de Cauchy (com o mesmo N dado para \sum|a_{n}|). Logo, \sum a_{n} converge.

Resposta

Portanto, se \sum|a_{n}| converge, então \sum a_{n} converge.

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