Questāo 4
Considere o campo vetorial em \mathbb{R}^{3}, F(x, y, z)=\vec{i}+\operatorname{sen}(z) \vec{j}+y \cos (z) \vec{k}.
(a) Calcule o rotacional de F.
(b) Calcule o divergente de F.
(c) F é conservativo? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial em \mathbb{R}^3
F(x,y,z) = \vec i + \operatorname{sen}(z)\,\vec j + y\cos(z)\,\vec k
e pede:
(a) o rotacional \nabla\times F,
(b) o divergente \nabla\cdot F,
(c) verificar se F é conservativo.
Para isso vamos usar as definições de rotacional, divergente e o critério de campo conservativo em domínios simplesmente conexos.

Passo 2

Identificamos as componentes
P(x,y,z)=1,\quad Q(x,y,z)=\operatorname{sen}(z),\quad R(x,y,z)=y\cos(z).

Passo 3

O rotacional em coordenadas cartesianas é dado por
\nabla\times F =\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k\\\ \partial_x & \partial_y & \partial_z\\\ P & Q & R \end{vmatrix}.
Calculamos cada componente:
  1. Componente \vec i:
    \displaystyle \partial_y R - \partial_z Q = \partial_y\bigl(y\cos z\bigr) - \partial_z\bigl(\operatorname{sen} z\bigr) = \cos z - \cos z = 0.
  2. Componente \vec j:
    \displaystyle \partial_z P - \partial_x R = \partial_z(1) - \partial_x\bigl(y\cos z\bigr) = 0 - 0 = 0.
  3. Componente \vec k:
    \displaystyle \partial_x Q - \partial_y P = \partial_x\bigl(\operatorname{sen} z\bigr) - \partial_y(1) = 0 - 0 = 0.

Passo 4

Portanto
\nabla\times F = (0)\,\vec i + (0)\,\vec j + (0)\,\vec k = \vec 0.

Passo 5

O divergente é
\nabla\cdot F =\partial_x P + \partial_y Q + \partial_z R =\partial_x(1)+\partial_y\bigl(\operatorname{sen} z\bigr)+\partial_z\bigl(y\cos z\bigr).
Calculando:
\partial_x(1)=0, \partial_y(\operatorname{sen} z)=0, \partial_z(y\cos z)=y\bigl(-\operatorname{sen} z\bigr)=-y\operatorname{sen} z.

Passo 6

Logo
\nabla\cdot F = -\,y\,\operatorname{sen}(z).

Passo 7

Para ser conservativo num domínio simplesmente conexo (como \mathbb{R}^3), basta ter \nabla\times F=0. Como encontramos \nabla\times F=\vec 0 em todo \mathbb{R}^3, conclui-se que F é conservativo.
Opcionalmente, pode-se exibir o potencial \varphi tal que \nabla\varphi=F:
Integrando \partial_x\varphi=1 vem \varphi=x+g(y,z).
De \partial_y\varphi=\operatorname{sen} z obtemos g(y,z)=y\operatorname{sen} z+h(z).
Finalmente, \partial_z\varphi=y\cos z+h'(z) deve ser y\cos z, logo h'(z)=0.

Resposta

(a) \nabla\times F = \vec 0.
(b) \nabla\cdot F = -\,y\,\operatorname{sen}(z).
(c) Sim. Como \nabla\times F=0 em \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo), F é conservativo.

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