Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série infinita
converge para
. O conteúdo envolve séries alternadas e fracionárias, e vamos usar decomposição em frações parciais seguida de um telescópio via deslocamento de índice.
Passo 2
Fazemos a decomposição
Igualando numeradores:
Assim
e
. Daí
e
. Logo
Passo 3
Substituindo na soma original,
Passo 4
No segundo somatório fazemos
, de modo que quando
temos
e
. Então
Passo 5
Escrevendo ambas as somas com índice
:
Separamos o termo
da primeira soma, que é
, e percebemos que os demais termos (
) cancelam entre as duas somas. Logo