Mostre que \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2 n+5)}{(n+2)(n+3)}=\frac{1}{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série infinita
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(2n+5)}{(n+2)(n+3)}
converge para \tfrac12. O conteúdo envolve séries alternadas e fracionárias, e vamos usar decomposição em frações parciais seguida de um telescópio via deslocamento de índice.

Passo 2

Fazemos a decomposição
\frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \frac{A}{n+2} + \frac{B}{n+3}.
Igualando numeradores:
2n+5 = A(n+3) + B(n+2) = (A+B)n + (3A+2B).
Assim A+B=2 e 3A+2B=5. Daí B=1 e A=1. Logo
\frac{2n+5}{(n+2)(n+3)} = \frac{1}{n+2} + \frac{1}{n+3}.

Passo 3

Substituindo na soma original,
S = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n\Bigl(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}\Bigr) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+2} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+3}.

Passo 4

No segundo somatório fazemos m=n+1, de modo que quando n=0 temos m=1 e (-1)^n =(-1)^{m-1}=-(-1)^m. Então
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+3} = \sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^{m-1}}{m+2} = -\sum_{m=1}^{\infty}\frac{(-1)^m}{m+2}.

Passo 5

Escrevendo ambas as somas com índice n:
S = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+2} \;-\;\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+2}.
Separamos o termo n=0 da primeira soma, que é \tfrac{(-1)^0}{0+2}=\tfrac12, e percebemos que os demais termos ( n\ge1) cancelam entre as duas somas. Logo
S = \frac12.

Resposta

\displaystyle \frac12

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