Calcule integral duplan x y d A, na região D compreendida pelas curvas y=x e y=x^2.
(?)

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
integral duplaD x,y,dA
na região D limitada pelas curvas y=x e y=x^2. O conteúdo aqui é parametrizar a região no plano e aplicar a definição de integral dupla por meio de integrais iteradas.

Passo 2

Primeiro encontramos onde y=x e y=x^2 se intersectam, resolvendo
x = x^2 Longrightarrow x(x-1)=0
portanto x=0 ou x=1. Para 0<= x<=1, temos x^2<= y<= x. Logo podemos descrever
D = (x,y)mid 0<= x<=1,;x^2<= y<= x

Passo 3

Escolhendo integrar primeiro em y, escrevemos
integral duplaD x,y,dA =integralx=0^1l[integraly=x^2^y=x x,y,dyr]dx
Dentro dos colchetes, x é constante em relação a y, então
integraly=x^2^y=x x,y,dy =xintegralx^2^x y,dy =xl[tfrac12y^2r]y=x^2^y=x =tfrac12xl(x^2 - x^4r) =tfrac12l(x^3 - x^5r)

Passo 4

Substituindo na integral em x,
integral duplaD x,y,dA =integral0^1tfrac12l(x^3 - x^5r),dx =tfrac12l[tfracx^44 - tfracx^66r]0^1 =tfrac12l(tfrac14-tfrac16r) =tfrac12cdottfrac112 =tfrac124

Resposta

124

Exercícios relacionados