(6 pontos) Considere o problema de valor inicial:
(a) Determine a solução geral e particular que satisfaz a condição inicial.
(b) A solução obtida é única? Em caso afirmativo, em que intervalo ela é válida e única? Justifique sua resposta.
(b) A solução obtida é única? Em caso afirmativo, em que intervalo ela é válida e única? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar escrever na forma padrão
e usar o método do fator integrante.
Passo 2
Dividimos ambos os lados por
(pois
) e obtemos a forma padrão:
Aqui
e
. O fator integrante
é dado por
Passo 3
Multiplicando a equação padrão por
, vemos que o lado esquerdo vira derivada do produto:
Integrando ambos os lados em relação a
:
onde
é constante arbitrária. Assim a solução geral é
Passo 4
Para satisfazer a condição inicial
, impomos
Logo a solução particular do PVI é
Passo 5
Como
e
são contínuas para todo
, pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem a solução existe e é única em qualquer intervalo contido em
que contenha o ponto inicial
.
Resposta
a) A solução geral é
e a solução particular que satisfaz
é
b) Sim. Como os coeficientes
e
são contínuos em
, pelo teorema de existência e unicidade a solução é única em qualquer intervalo de
que contenha
.