(6 pontos) Considere o problema de valor inicial:
t y^prime+2 y=cos tt, y(pi)=0, t>0
(a) Determine a solução geral e particular que satisfaz a condição inicial.
(b) A solução obtida é única? Em caso afirmativo, em que intervalo ela é válida e única? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
t,y'(t)+2,y(t)=cos tt, y(pi)=0, t>0,
que é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar escrever na forma padrão
y'+p(t),y=g(t)
e usar o método do fator integrante.

Passo 2

Dividimos ambos os lados por t (pois t>0) e obtemos a forma padrão:
y'+2t,y=cos tt^2
Aqui p(t)=2/t e g(t)=cos t/t^2. O fator integrante mu(t) é dado por
mu(t)=expl(integral p(t),dtr) =expl(integral 2t,dtr) =expl(2ln tr) =t^2

Passo 3

Multiplicando a equação padrão por mu(t)=t^2, vemos que o lado esquerdo vira derivada do produto:
(t^2y)'=t^2y'+2t,y=cos t
Integrando ambos os lados em relação a t:
t^2y=integral cos t,dt + C =sin t + C,
onde C é constante arbitrária. Assim a solução geral é
y(t)=sin t + Ct^2

Passo 4

Para satisfazer a condição inicial y(pi)=0, impomos
0=y(pi)=sinpi + Cpi^2 ;Longrightarrow; 0 + Cpi^2=0 ;Longrightarrow; C=0
Logo a solução particular do PVI é
y(t)=sin tt^2

Passo 5

Como p(t)=2/t e g(t)=cos t/t^2 são contínuas para todo t>0, pelo teorema de existência e unicidade para equações lineares de primeira ordem a solução existe e é única em qualquer intervalo contido em (0,infty) que contenha o ponto inicial t=pi.

Resposta

a) A solução geral é
y(t)=sin t + Ct^2,
e a solução particular que satisfaz y(pi)=0 é
y(t)=sin tt^2
b) Sim. Como os coeficientes 2/t e cos t/t^2 são contínuos em (0,infty), pelo teorema de existência e unicidade a solução é única em qualquer intervalo de (0,infty) que contenha t=pi.

Exercícios relacionados