(6 pontos) Para a equação:
y^prime=yx+1, y(0)=2
(a) Verifique as condições do Teorema de Existência e Unicidade.
(b) Determine o intervalo onde a solução existe e é única.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'= yx+1, y(0)=2
que é um caso clássico de EDO de primeira ordem. Vamos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (TEU), que exige verificar a continuidade de f(x,y) e de partial f/partial y numa vizinhança do ponto inicial (x0,y0)=(0,2).

Passo 2

Identificamos
f(x,y)=yx+1
Calculamos a derivada parcial em relação a y:
partial fpartial y(x,y)=1x+1
Ambas as funções f e partial f/partial y são racionais com denominador x+1. Portanto elas só deixam de ser contínuas quando x+1=0, ou seja em x=-1.

Passo 3

Como o ponto inicial é x0=0, temos 0+1=1neq0. Logo existe um retângulo
R=(x,y)mid |x-0|<= a<1, |y-2|<= b
em que nem f nem partial f/partial y encontram singularidade. Pelo TEU, nesse retângulo há existência e unicidade da solução passando por (0,2).

Passo 4

Para estender o máximo possível a solução, basta garantir x+1neq0. O maior intervalo aberto contendo x=0 em que isso ocorre é
(-1,infty)
Portanto a solução existe e é única para todo xin(-1,infty).

Resposta

(a) Em torno de (0,2), f(x,y)=y/(x+1) e partial f/partial y=1/(x+1) são contínuas sempre que xneq-1, logo satisfazem as hipóteses do TEU.
(b) A solução existe e é única no intervalo máximo (-1,infty).

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