(6 pontos) Para a equação:
(a) Verifique as condições do Teorema de Existência e Unicidade.
(b) Determine o intervalo onde a solução existe e é única.
(b) Determine o intervalo onde a solução existe e é única.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
que é um caso clássico de EDO de primeira ordem. Vamos aplicar o Teorema de Existência e Unicidade (TEU), que exige verificar a continuidade de
e de
numa vizinhança do ponto inicial
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos a derivada parcial em relação a
:
Ambas as funções
e
são racionais com denominador
. Portanto elas só deixam de ser contínuas quando
, ou seja em
.
Passo 3
Como o ponto inicial é
, temos
. Logo existe um retângulo
em que nem
nem
encontram singularidade. Pelo TEU, nesse retângulo há existência e unicidade da solução passando por
.
Passo 4
Para estender o máximo possível a solução, basta garantir
. O maior intervalo aberto contendo
em que isso ocorre é
Portanto a solução existe e é única para todo
.
Resposta
(a) Em torno de
,
e
são contínuas sempre que
, logo satisfazem as hipóteses do TEU.
(b) A solução existe e é única no intervalo máximo .
(b) A solução existe e é única no intervalo máximo