Determine a solução geral das equações abaixo:
x cos yx(y+x d yd x)=y sen yx(x d yd x-y)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
xcos!gl(yxgr)l(y + xdydxr) = ysin!gl(yxgr)l(xdydx - yr)
Este tipo de equação é homogênea em y e x, pois aparece apenas a razão y/x. Vamos usar a substituição
y = v x, dydx = v + xdvdx,
para reduzir a um caso de variáveis separáveis.

Passo 2

Com y=v x temos
y + xdydx = v x + xl(v + xdvdxr) = 2v x + x^2dvdx,
e
xdydx - y = xl(v + xdvdxr) - v x = x^2dvdx
Substituindo na equação original:
xcos(v)l(2v x + x^2v'r) = v xsin(v)l(x^2v'r),
onde escrevemos v' = dv/dx.

Passo 3

Expandindo e simplificando por x^2 obtemos
2vcos(v) + xcos(v),v' = x,vsin(v),v' ;Longrightarrow; 2vcos(v) = x,v'l(vsin(v)-cos(v)r)
Isto é uma equação separável:
vsin(v)-cos(v)2vcos(v),dv = dxx

Passo 4

Calculemos as integrais:
integralvsin(v)-cos(v)2vcos(v),dv = 12integrall(tan(v)-tfrac1vr),dv = 12l(-ln|cos(v)|-ln|v|r)+C1
Do outro lado
integraldxx = ln|x| + C2
Igualando e reunindo constantes, chega-se a
-tfrac12lnl|vcos(v)r| = ln|x| + C,
que equivale a
lnl|x^2vcos(v)r| = const ;Longrightarrow; x^2,vcos(v)=C
Voltando a v=y/x, temos
x^2yxcos!l(tfracyxr) = xycos!l(tfracyxr) = C

Resposta

xycos!l(yxr)=C,
onde C é a constante de integração.

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