Calcule integralegral duplaOmega y d A, sendo Omega=(x, y) in R^2: x^2+y^2 <= 1, y >= 0. R: 23

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
integral duplaOmega y,dA,
onde
Omega=(x,y)inR^2 : x^2+y^2<=1,;y>=0
O conteúdo aqui é integração dupla em coordenadas polares, já que Omega é meio disco de raio 1.

Passo 2

Fazemos a troca para coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Na região Omega temos 0<= r<=1 e 0<=theta<=pi (porque y>=0).

Passo 3

O integrando y vira rsintheta, então
integral duplaOmega y,dA = integral0^pi!!integral0^1 l(rsinthetar),(r,dr,dtheta) = integral0^pi!!integral0^1 r^2sintheta ,dr,dtheta

Passo 4

Separamos as integrais:
integral0^1 r^2,dr = gl[r^33gr]0^1 = 13,
integral0^pi sintheta,dtheta = l[-costhetar]0^pi = 2
Multiplicando dá
integral duplaOmega y,dA = 13times2 = 23

Resposta

23

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