Calcule e represente geometricamente:
u=(1,-1), v=(1,1), w=2 u+3 v em R^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o vetor
w = 2u + 3v
onde
u = (1,-1), v = (1,1)
em R^2. O conteúdo necessário é a multiplicação de um vetor por escalar e a soma de vetores, além de interpretar geometricamente vetores no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar u pelo escalar 2 e v pelo escalar 3:
2u = 2cdot(1,-1) = (2,-2),
3v = 3cdot(1,1) = (3,3)

Passo 3

Agora somamos os dois resultados para obter w:
w = 2u + 3v = (2,-2) + (3,3) = (2+3,,-2+3) = (5,1)

Passo 4

Para representar geometricamente em um sistema de eixos x y:
  1. Marque o ponto A=(1,-1) e desenhe a seta de origem O=(0,0) até A; essa é u.
  2. Marque o ponto B=(1,1) e desenhe a seta de O até B; essa é v.
  3. Aplique o escalar 2 em u: desenhe a seta de O até C=(2,-2).
  4. Aplique o escalar 3 em v: desenhe a seta de O até D=(3,3).
  5. Para visualizar a soma, coloque a cauda de OD em C; o ponto final ficará em E=(5,1). A seta de O até E é w.
Em resumo, w aparece como a diagonal do polígono formado pelas setas 2u e 3v em “cadeia” ou como a seta direta de O a (5,1).

Resposta

u=(1,-1), v=(1,1), w=(5,1)
Geometricamente, u e v são desenhados a partir da origem, e w é o vetor da origem ao ponto (5,1), equivalente a seguir primeiro 2u e depois 3v.

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