Dada a equação da parábola y^2+6y-8x+17=0, determine seu vértice, foco e equação da diretriz.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma parábola: y^2 + 6y - 8x + 17 = 0 . Nosso objetivo aqui é encontrar o vértice, o foco e a equação da diretriz dessa parábola. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação da parábola na forma padrão. Isso facilita identificar o vértice, foco e diretriz. A forma geral de uma parábola que abre para o lado horizontal é:
(y - k)^2 = 4p(x - h)
Onde (h, k) é o vértice, e p determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.

Passo 3

Vamos reescrever a equação original para se parecer com a forma padrão. Começamos isolando os termos com y:
y^2 + 6y = 8x - 17
Agora, completamos o quadrado para os termos de y. Para completar o quadrado de y^2 + 6y, pegamos metade do coeficiente de y (que é 6), ou seja, 3, e elevamos ao quadrado, resultando em 9. Adicionamos e subtraímos esse valor:
y^2 + 6y + 9 = 8x - 17 + 9
(y + 3)^2 = 8x - 8

Passo 4

Agora, vamos comparar com a forma padrão (y - k)^2 = 4p(x - h):
(y + 3)^2 = 8(x - 1)
Isso nos mostra que:
  • h = 1
  • k = -3
  • 4p = 8 p = 2

Passo 5

Com esses valores, podemos identificar:
  • Vértice: (h, k) = (1, -3)
  • Foco: Para parábolas que abrem para os lados, o foco fica a uma distância p do vértice. Como p = 2 e a parábola abre para a direita, o foco está em (h + p, k) = (3, -3).
  • Diretriz: É uma linha vertical situada a uma distância p do vértice, mas no lado oposto ao foco. Então, a equação da diretriz é x = h - p = 1 - 2 = -1.

Resposta

  • Vértice: (1, -3)
  • Foco: (3, -3)
  • Equação da diretriz: x = -1

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