Dada a equação da parábola
, determine seu vértice, foco e equação da diretriz.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação de uma parábola:
. Nosso objetivo aqui é encontrar o vértice, o foco e a equação da diretriz dessa parábola. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria analítica, especialmente sobre parábolas.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação da parábola na forma padrão. Isso facilita identificar o vértice, foco e diretriz. A forma geral de uma parábola que abre para o lado horizontal é:
Onde
é o vértice, e
determina a distância do vértice ao foco e à diretriz.
Passo 3
Vamos reescrever a equação original para se parecer com a forma padrão. Começamos isolando os termos com
:
Agora, completamos o quadrado para os termos de
. Para completar o quadrado de
, pegamos metade do coeficiente de
(que é 6), ou seja, 3, e elevamos ao quadrado, resultando em 9. Adicionamos e subtraímos esse valor:
Passo 4
Agora, vamos comparar com a forma padrão
:
Isso nos mostra que:
-
-
-
⇒
Passo 5
Com esses valores, podemos identificar:
- Vértice:
- Foco: Para parábolas que abrem para os lados, o foco fica a uma distância
do vértice. Como e a parábola abre para a direita, o foco está em . - Diretriz: É uma linha vertical situada a uma distância
do vértice, mas no lado oposto ao foco. Então, a equação da diretriz é .
Resposta
- Vértice:
- Foco:
- Equação da diretriz: