Encontre os alto valores, os auto-espaços associados, calcule as multiplicidades algébrica e geométrica, em seguida conclua quais das seguintes transformações lineares são diagonalizáveis.
T: R^2 longrightarrow R^2, T(x, y)=(2 x+y, 3 x); (Samya )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma transformação linear T: R^2 R^2 definida por T(x, y) = (2x + y, 3x) . O objetivo é encontrar os valores próprios (os chamados “alto valores”), os espaços próprios associados a cada valor próprio, calcular as multiplicidades algébrica e geométrica de cada valor próprio e, por fim, determinar se essa transformação é diagonalizável. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como autovalores, autovetores e propriedades de matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear T como uma matriz. Lembre-se que uma transformação linear T: R^2 R^2 pode ser representada por uma matriz A tal que T(v) = Av .
Para T(x, y) = (2x + y, 3x) , a matriz A é:
A = 2 & 1 3 & 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores próprios de A . Os valores próprios lambda satisfazem a equação característica:
det(A - lambda I) = 0
Aqui, I é a matriz identidade. Calculando A - lambda I :
A - lambda I = 2 - lambda & 1 3 & -lambda
A determinante dessa matriz é:
det(A - lambda I) = (2 - lambda)(-lambda) - (1)(3) = -2lambda + lambda^2 - 3
Então, a equação característica é:
lambda^2 - 2lambda - 3 = 0

Passo 4

Vamos resolver a equação quadrática lambda^2 - 2lambda - 3 = 0 . Usando a fórmula de Bhaskara:
lambda = 2 pm raiz(-2)^2 - 4(1)(-3)2(1) = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Portanto, temos dois valores próprios:
lambda1 = 2 + 42 = 3 e lambda2 = 2 - 42 = -1

Passo 5

Com os valores próprios lambda1 = 3 e lambda2 = -1 , vamos encontrar os espaços próprios correspondentes a cada valor próprio. Para isso, resolvemos (A - lambda I)v = 0 .
Para lambda1 = 3 :
A - 3I = 2 - 3 & 1 3 & -3 = -1 & 1 3 & -3
Resolvendo o sistema:
-1x + 1y = 0 Rightarrow y = x
Então, os vetores próprios são múltiplos de 1 1 .
Para lambda2 = -1 :
A + I = 2 + 1 & 1 3 & 0 + 1 = 3 & 1 3 & 1
Resolvendo o sistema:
3x + y = 0 Rightarrow y = -3x
Então, os vetores próprios são múltiplos de 1 -3 .

Passo 6

Agora, vamos calcular as multiplicidades algébrica e geométrica para cada valor próprio.
  • Multiplicidade algébrica é o número de vezes que um valor próprio aparece como raiz da equação característica.
    • Para lambda1 = 3 , multiplicidade algébrica ma = 1 .
    • Para lambda2 = -1 , multiplicidade algébrica ma = 1 .
  • Multiplicidade geométrica é a dimensão do espaço próprio correspondente, ou seja, o número de vetores linearmente independentes que satisfazem (A - lambda I)v = 0 .
    • Para lambda1 = 3 , temos um vetor próprio, então multiplicidade geométrica mg = 1 .
    • Para lambda2 = -1 , também temos um vetor próprio, então multiplicidade geométrica mg = 1 .

Passo 7

Por fim, para determinar se a transformação T (ou seja, a matriz A ) é diagonalizável, verificamos se a soma das multiplicidades geométricas dos valores próprios é igual à dimensão do espaço, que neste caso é 2.
Aqui, temos:
mg(lambda1) + mg(lambda2) = 1 + 1 = 2
Como isso é igual à dimensão de R^2 , concluímos que a transformação T é diagonalizável.

Resposta

A transformação linear T é diagonalizável.

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