Calcule e represente z no plano complexo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular o número complexo
e representá-lo no plano complexo. Informações dadas:
- O fator
é uma potência da unidade imaginária . - O outro fator é o número complexo
.
Passo 2
Relembrando a propriedade essencial das potências de
(essa é a parte-chave):
- Por definição,
é tal que . - Calculando potências seguintes:
, . - Portanto as potências de
repetem-se a cada passos: , , , , e então volta.
Quando temos uma potência grande, reduzimos o expoente módulo
. Para
fazemos a divisão de
por
:
ou seja, o resto é
. Logo
E sabemos que
Passo 3
Agora substituímos esse resultado em
:
Distribuindo o
(ou seja, multiplicando cada termo por
):
Passo 4
Interpretação e representação no plano complexo:
- Um número complexo
corresponde ao ponto de coordenadas no plano com eixo real horizontal e eixo imaginário vertical. - Aqui temos
, portanto as coordenadas são
Ou seja, o ponto é
.
Passos para desenhar no papel: desenhar eixos cartesianos, marcar no eixo real o ponto
(para a esquerda da origem) e no eixo imaginário o ponto
(para cima), e plotar o ponto
. Traçar, se quiser, o vetor do
até
.
Passo 5
Forma polar e módulos (opcional mas útil para entender posição):
- Módulo (distância à origem):
- Argumento (ângulo com o eixo real, em radianos): primeiro calcule
do valor absoluto da inclinação,
Como o ponto está no quadrante II (real negativo, imaginário positivo), o argumento principal é
- Então a forma polar é
ou, usando a forma exponencial,
Resposta
Representação no plano: ponto
(módulo
, argumento
).