Calcule e represente z no plano complexo:
z=i^{54}(3-2 i)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular o número complexo
z = i^{54}(3-2i)
e representá-lo no plano complexo. Informações dadas:
  • O fator i^{54} é uma potência da unidade imaginária i.
  • O outro fator é o número complexo 3-2i.

Passo 2

Relembrando a propriedade essencial das potências de i (essa é a parte-chave):
  • Por definição, i é tal que i^2=-1.
  • Calculando potências seguintes: i^3=i^2\cdot i=-i, i^4=i^2\cdot i^2=1.
  • Portanto as potências de i repetem-se a cada 4 passos: i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1, e então volta.
Quando temos uma potência grande, reduzimos o expoente módulo 4. Para i^{54} fazemos a divisão de 54 por 4:
54 = 4\cdot 13 + 2,
ou seja, o resto é 2. Logo
i^{54} = i^{4\cdot 13 + 2} = (i^4)^{13}\, i^2 = 1^{13}\, i^2 = i^2.
E sabemos que
i^2 = -1.

Passo 3

Agora substituímos esse resultado em z:
z = i^{54}(3-2i) = (-1)(3-2i).
Distribuindo o -1 (ou seja, multiplicando cada termo por -1):
z = -1\cdot 3 + (-1)\cdot(-2i) = -3 + 2i.

Passo 4

Interpretação e representação no plano complexo:
  • Um número complexo a+bi corresponde ao ponto de coordenadas (a,b) no plano com eixo real horizontal e eixo imaginário vertical.
  • Aqui temos z = -3 + 2i, portanto as coordenadas são
\text{Re}(z) = -3,\qquad \text{Im}(z) = 2.
Ou seja, o ponto é (-3,2).
Passos para desenhar no papel: desenhar eixos cartesianos, marcar no eixo real o ponto -3 (para a esquerda da origem) e no eixo imaginário o ponto 2 (para cima), e plotar o ponto (-3,2). Traçar, se quiser, o vetor do 0 até (-3,2).

Passo 5

Forma polar e módulos (opcional mas útil para entender posição):
  • Módulo (distância à origem):
|z| = \sqrt{(-3)^2 + 2^2} = \sqrt{9+4} = \sqrt{13}.
  • Argumento (ângulo com o eixo real, em radianos): primeiro calcule \arctan do valor absoluto da inclinação,
\arctan\!\left(\frac{|2|}{|{-3}|}\right)=\arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx 0{,}588\\ \text{rad}.
Como o ponto está no quadrante II (real negativo, imaginário positivo), o argumento principal é
\arg(z) = \pi - \arctan\!\left(\frac{2}{3}\right)\approx \pi - 0{,}588 \approx 2{,}554\\ \text{rad}.
  • Então a forma polar é
z = \sqrt{13}\left(\cos\!\bigl(\pi - \arctan(\tfrac{2}{3})\bigr) + i\sin\!\bigl(\pi - \arctan(\tfrac{2}{3})\bigr)\right),
ou, usando a forma exponencial,
z = \sqrt{13}\,e^{i(\pi - \arctan(\tfrac{2}{3}))}.

Resposta

z=-3+2i
Representação no plano: ponto (-3,2) (módulo \sqrt{13}, argumento \pi-\arctan(\tfrac{2}{3})\approx2{,}554\\ \text{rad}).

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