Resolva a equação diferencial pelo método da transformada de Laplace:
y^{\prime \prime}(t)+3 y^{\prime}(t)+2 y(t)=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução y(t) da equação diferencial com condições iniciais dadas. Dados do problema:
y^{\prime\prime}(t) + 3\,y^{\prime}(t) + 2\,y(t) = 0,
com
y(0)=1,\qquad y^{\prime}(0)=0.
O objetivo final é determinar explicitamente y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace: para uma função f(t) (causal, i.e., definida para t\ge0),
\mathcal{L}\{f\}(s)=F(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t} f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa (na prática, trabalhamos com s real suficientemente grande para garantir convergência). A ideia: transformar derivadas em expressões em s envolvendo F(s) e as condições iniciais, resolver para F(s) e depois aplicar a transformada inversa.

Passo 3

Propriedades essenciais que usaremos (vou dar uma breve demonstração da fórmula para derivada, pois é importante entender de onde vem):
linearidade:
\mathcal{L}\{a f + b g\}(s) = a\,\mathcal{L}\{f\}(s) + b\,\mathcal{L}\{g\}(s).
Transformada da primeira derivada (derivação sob o integral via integração por partes):
se Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), então
\mathcal{L}\{y'\}(s)=s\,Y(s)-y(0).
Demonstração curta: \mathcal{L}\{y'\}=\int_0^\infty e^{-st} y'(t)\,dt. Integrando por partes com u=e^{-st}, dv=y'(t)\,dt dá o resultado acima (o termo em t\to\infty zera se y crescer menos que exponencial apropriado). Transformada da segunda derivada:
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
que se obtém aplicando a fórmula da primeira derivada duas vezes.

Passo 4

Agora aplico a transformada de Laplace à equação inteira. Denotando Y(s)=\mathcal{L}\{y\}(s), usando as fórmulas de derivadas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}(s)+3\,\mathcal{L}\{y'\}(s)+2\,\mathcal{L}\{y\}(s)=0.
Substituindo as expressões:
\big(s^{2}Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\big)+3\big(sY(s)-y(0)\big)+2Y(s)=0.
Agora coloco y(0)=1 e y'(0)=0:
\big(s^{2}Y(s)-s\big)+3\big(sY(s)-1\big)+2Y(s)=0.

Passo 5

Agrupo os termos que multiplicam Y(s) e os termos constantes:
\big(s^{2}+3s+2\big)Y(s) \;-\; s \;-\; 3 \;=\; 0.
Isolando Y(s):
\big(s^{2}+3s+2\big)Y(s)=s+3,
portanto
Y(s)=\frac{s+3}{s^{2}+3s+2}.

Passo 6

Agora fatoro o denominador para facilitar a inversão:
s^{2}+3s+2=(s+1)(s+2).
Então
Y(s)=\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}.
Vamos decompor em frações parciais: suponho
\frac{s+3}{(s+1)(s+2)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)\) obtemos \[s+3 = A(s+2)+B(s+1) = (A+B)s + (2A+B).
Comparando coeficientes de s e termo constante:
\begin{cases} A+B = 1,\\[4pt] 2A + B = 3. \end{cases}
Subtraindo as duas equações: (2A+B)-(A+B)=3-1\] dá \(A=2. Então B=1-A= -1.
Logo
Y(s)=\frac{2}{s+1}-\frac{1}{s+2}.]

Passo 7

Agora aplico a transformada inversa. Da tabela básica de Laplace sabemos que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+a}\right\}(t)=e^{-a t}\quad\text{para }t\ge0.
Usando linearidade da inversa:
y(t)=\mathcal{L}^{-1}\{Y(s)\}(t)=2\,\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+1}\right\}(t)-\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}(t).
Portanto
y(t)=2e^{-t}-e^{-2t},\qquad t\ge0.

Passo 8

Verificação rápida (consigo checar no papel durante a prova): em t=0 temos y(0)=2-1=1 (confere) e
y'(t)=-2e^{-t}+2e^{-2t}\implies y'(0)=-2+2=0
(confere). Além disso, essa combinação de exponenciais satisfaz a equação homogênea porque as raízes característias são -1 e -2. Tudo consistente.

Resposta

\;y(t)=2e^{-t}-e^{-2t}

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