Resolva a equação diferencial pelo método da transformada de Laplace:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução
da equação diferencial com condições iniciais dadas. Dados do problema:
com
O objetivo final é determinar explicitamente
para
.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace para transformar a equação diferencial em uma equação algébrica. Primeiro, lembro a definição da transformada de Laplace: para uma função
(causal, i.e., definida para
),
onde
é uma variável complexa (na prática, trabalhamos com
real suficientemente grande para garantir convergência). A ideia: transformar derivadas em expressões em
envolvendo
e as condições iniciais, resolver para
e depois aplicar a transformada inversa.
Passo 3
Propriedades essenciais que usaremos (vou dar uma breve demonstração da fórmula para derivada, pois é importante entender de onde vem):
linearidade:
linearidade:
Transformada da primeira derivada (derivação sob o integral via integração por partes):
se , então
se
Demonstração curta:
. Integrando por partes com
,
dá o resultado acima (o termo em
zera se
crescer menos que exponencial apropriado). Transformada da segunda derivada:
que se obtém aplicando a fórmula da primeira derivada duas vezes.
Passo 4
Agora aplico a transformada de Laplace à equação inteira. Denotando
, usando as fórmulas de derivadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Substituindo as expressões:
Agora coloco
e
:
Passo 5
Agrupo os termos que multiplicam
e os termos constantes:
Isolando
:
portanto
Passo 6
Agora fatoro o denominador para facilitar a inversão:
Então
Vamos decompor em frações parciais: suponho
Multiplicando ambos os lados por
Comparando coeficientes de
e termo constante:
Subtraindo as duas equações:
. Então
.
Logo
Passo 7
Agora aplico a transformada inversa. Da tabela básica de Laplace sabemos que
Usando linearidade da inversa:
Portanto
Passo 8
Verificação rápida (consigo checar no papel durante a prova): em
temos
(confere) e
(confere). Além disso, essa combinação de exponenciais satisfaz a equação homogênea porque as raízes característias são
e
. Tudo consistente.