Considere a sequência ann >= 1 definida por a1=2 e an+1=12(an+4), n >= 1.
b) A sequência é monótona? Justifique sua resposta!

Passo 1

A sequência é definida por a1 = 2 e an+1 = tfrac12l(an + 4r). Precisamos verificar se an+1 - an é sempre positivo (crescente) ou negativo (decrescente).

Passo 2

Calculamos a diferença entre termos consecutivos:
an+1 - an = an + 42 - an = 2 - an2 = 4 - an2

Passo 3

Para saber o sinal de an+1 - an, mostramos que an < 4 para todo n. Base: a1 = 2 < 4. Passo indutivo: se an < 4, então
an+1 = an + 42 < 4 + 42 = 4, logo por indução an < 4 para todo n>=1. Assim 4 - an >0, e portanto an+1 - an = tfrac4-an2 >0.

Passo 4

Concluímos que an+1 > an para todo n, ou seja, a sequência é estritamente crescente.

Resposta

A sequência é monótona crescente.

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