Quais dos subconjuntos de P2 a seguir são subespaços de P2? O conjunto de todos os polinômios da forma:
a2 t^2+a1 t+a0, onde a0=0.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
S = ,p(t)=a2t^2+a1t+a0in P2mid a0=0
é um subespaço de P2. O conteúdo necessário é o critério de subespaço: mostrar que S não é vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar que o polinômio nulo pertence a S. Tomando a2=0 e a1=0, obtém-se
p(t)=0cdot t^2+0cdot t+0 = 0,
que satisfaz a0=0. Logo, 0in S.

Passo 3

Verificar fechamento sob soma. Sejam
p(t)=a2t^2+a1t+0 e q(t)=b2t^2+b1t+0
em S. Então
p(t)+q(t)=(a2+b2)t^2+(a1+b1)t+0,
aqui o termo constante continua zero, logo p+qin S.

Passo 4

Verificar fechamento sob escalar. Seja lambdainR e
p(t)=a2t^2+a1t+0in S
Então
lambda,p(t)=(lambda a2)t^2+(lambda a1)t+0,
onde de novo o termo constante é zero, logo lambda pin S.

Passo 5

Como S contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que S é um subespaço de P2.

Resposta

O conjunto dado é um subespaço de P2.

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