Quais dos subconjuntos de
a seguir são subespaços de
? O conjunto de todos os polinômios da forma:
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um subespaço de
. O conteúdo necessário é o critério de subespaço: mostrar que
não é vazio, fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar que o polinômio nulo pertence a
. Tomando
e
, obtém-se
que satisfaz
. Logo,
.
Passo 3
Verificar fechamento sob soma. Sejam
em
. Então
aqui o termo constante continua zero, logo
.
Passo 4
Verificar fechamento sob escalar. Seja
e
Então
onde de novo o termo constante é zero, logo
.
Passo 5
Como
contém o zero, é fechado sob soma e sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.
Resposta
O conjunto dado é um subespaço de
.