Calcule o resto da divisão de f(x)=x^10+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1 por g(x)=x-1, em R[x].

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o resto da divisão do polinômio f(x) = x^10 + x^9 + x^8 + x^7 + x^6 + x^5 + x^4 + x^2 + 1 pelo polinômio g(x) = x - 1 . A matéria envolvida aqui é a Divisão de Polinômios, mais especificamente usando o Teorema do Resto. Para isso, vamos precisar entender como aplicar esse teorema para facilitar a nossa vida na hora de encontrar o resto dessa divisão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema do Resto. Esse teorema diz que, se você dividir um polinômio f(x) por um divisor da forma x - a , então o resto dessa divisão é simplesmente f(a) . Ou seja, em vez de fazer toda a divisão, a gente pode simplesmente substituir x por a no polinômio f(x) para encontrar o resto.

Passo 3

No nosso caso, o divisor é g(x) = x - 1 . Comparando com a forma x - a , vemos que a = 1 . Então, de acordo com o Teorema do Resto, o resto da divisão será f(1) .

Passo 4

Vamos calcular f(1) . Substituímos x por 1 em f(x) :
f(1) = 1^10 + 1^9 + 1^8 + 1^7 + 1^6 + 1^5 + 1^4 + 1^2 + 1
Como 1 elevado a qualquer potência é 1 , teremos:
f(1) = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 9

Passo 5

Portanto, o resto da divisão de f(x) por g(x) é 9 .

Resposta

O resto da divisão é 9 .

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