Quais são as raízes, em Z5[x], do polinômio p(x)=x^2-4 ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente quer aqui é encontrar as raízes do polinômio p(x) = x^2 - 4 no conjunto Z5[x] . Isso significa que estamos trabalhando com números de 0 a 4, onde 5 é considerado como 0 (por isso o “mod 5”). Para resolver isso, vamos testar cada número de 0 a 4 e ver quais fazem o polinômio dar zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar uma raiz nesse contexto. Uma raiz de p(x) em Z5 é um número a tal que, quando substituímos x por a no polinômio, o resultado é igual a zero em Z5 . Ou seja, queremos que a^2 - 4 equiv 0 mod 5 .

Passo 3

Vamos começar testando a = 0 :
0^2 - 4 = 0 - 4 = -4
Mas em Z5 , -4 é igual a 1 (porque -4 equiv 1 mod 5 ). Então, não é raiz.

Passo 4

Agora, vamos testar a = 1 :
1^2 - 4 = 1 - 4 = -3
Em Z5 , -3 equiv 2 mod 5 . Ainda não é zero.

Passo 5

Vamos para a = 2 :
2^2 - 4 = 4 - 4 = 0
Aí sim! a = 2 é uma raiz porque 0 equiv 0 mod 5.

Passo 6

Agora, testamos a = 3 :
3^2 - 4 = 9 - 4 = 5
Em Z5 , 5 equiv 0 mod 5. Então, a = 3 também é uma raiz.

Passo 7

Por último, vamos ver a = 4 :
4^2 - 4 = 16 - 4 = 12
Em Z5 , 12 equiv 2 mod 5 . Não é zero.

Resposta

As raízes do polinômio p(x) = x^2 - 4 em Z5 são 2 e 3 .

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