Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Um conjunto de n vetores LD pode gerar um subespaço vetorial de dimensão n.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de n vetores que são linearmente dependentes (LD). Precisamos determinar se esse conjunto pode gerar um subespaço vetorial com dimensão n. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre dependência linear e dimensão de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, há redundância no conjunto.

Passo 3

Agora, sobre a dimensão de um subespaço vetorial. A dimensão é o número de vetores que formam uma base para o subespaço, ou seja, o número de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.

Passo 4

Se temos n vetores que são linearmente dependentes, isso significa que a quantidade máxima de vetores linearmente independentes no conjunto é menor que n. Portanto, a dimensão do subespaço gerado por esses vetores também será menor que n.

Passo 5

Assim, um conjunto de n vetores linearmente dependentes não pode gerar um subespaço vetorial de dimensão n, já que alguns vetores estão “de sobrancelha” e não contribuem para aumentar a dimensão.

Resposta

FALSO. Um conjunto de n vetores linearmente dependentes gerará um subespaço de dimensão menor que n.

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