Classifique-as em VERDADEIRO ou FALSO, justificando suas respostas.
Um conjunto de
vetores LD pode gerar um subespaço vetorial de dimensão
.
Um conjunto de
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de
vetores que são linearmente dependentes (LD). Precisamos determinar se esse conjunto pode gerar um subespaço vetorial com dimensão
. Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de álgebra linear sobre dependência linear e dimensão de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa vetores serem linearmente dependentes. Isso quer dizer que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Ou seja, há redundância no conjunto.
Passo 3
Agora, sobre a dimensão de um subespaço vetorial. A dimensão é o número de vetores que formam uma base para o subespaço, ou seja, o número de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o subespaço.
Passo 4
Se temos
vetores que são linearmente dependentes, isso significa que a quantidade máxima de vetores linearmente independentes no conjunto é menor que
. Portanto, a dimensão do subespaço gerado por esses vetores também será menor que
.
Passo 5
Assim, um conjunto de
vetores linearmente dependentes não pode gerar um subespaço vetorial de dimensão
, já que alguns vetores estão “de sobrancelha” e não contribuem para aumentar a dimensão.
Resposta
FALSO. Um conjunto de
vetores linearmente dependentes gerará um subespaço de dimensão menor que
.