Calcule o resto da divisão de a por n nos casos abaixo:
a=5^{7^{101}} e n=8

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de
a = 5^{7^{101}}
por n=8.
O conteúdo a usar aqui é o cálculo de potências grandes em módulos pequenos, explorando ciclos de periodicidade das potências de uma base módulo n.

Passo 2

Observamos que 5\) é coprimo a \(8\) e que as potências de \(5\) módulo \(8\) apresentam ciclo curto: \[5^1 \equiv 5 \pmod{8},
5^2 \equiv 25 \equiv 1 \pmod{8},
e, portanto, qualquer potência maior satisfaz
5^k \equiv \begin{cases} 5, & \text{se \(k é ímpar},\ 1, & se k é par. \end{cases}]
Aqui o expoente é k = 7^{101}. Como 7 é ímpar, qualquer potência de 7 também é ímpar. Logo
7^{101} \text{ é ímpar},éí
e assim k é ímpar.

Resposta

O resto da divisão de 5^{7^{101}} por 8 é 5.

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