Calcule o resto da divisão de a por n nos casos abaixo:
a=6^{54632} e n=25.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o resto da divisão de a por n, onde a = 6^{54632} e n = 25. Vamos usar aritmética modular e o Teorema de Euler.

Passo 2

Primeiro notamos que \gcd(6,25)=1, então podemos aplicar o Teorema de Euler. Como 25=5^2, temos
\varphi(25)=25\bigl(1-\tfrac{1}{5}\bigr)=20.
Logo,
6^{20}\equiv1\pmod{25}.

Passo 3

Dividindo o expoente por 20, obtemos:
54632 = 20 \cdot 2731 + 12.
Logo,
6^{54632} = (6^{20})^{2731} \cdot 6^{12} \equiv 1^{2731}\cdot 6^{12} \equiv 6^{12} \pmod{25}.

Passo 4

Agora calculamos 6^{12}\bmod25 por sucessivas potências:
6^2 = 36 \equiv 11 \pmod{25},
6^4 = (6^2)^2 \equiv 11^2 = 121 \equiv 21 \pmod{25},
6^8 = (6^4)^2 \equiv 21^2 = 441 \equiv 16 \pmod{25}.
Por fim,
6^{12} = 6^8 \cdot 6^4 \equiv 16 \cdot 21 = 336 \equiv 11 \pmod{25}.

Resposta

11

Exercícios relacionados