Calcule o resto da divisão de a por n nos casos abaixo:
a=2^{45632} e n=15.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de a=2^{45632} por n=15. O conteúdo principal aqui é cálculo de potências em módulo e vamos usar o Teorema de Euler–Fermat para simplificar.

Passo 2

Calculamos o totiente de 15. Como 15 = 3 \cdot 5, temos
\varphi(15) = (3-1)\,(5-1) = 2 \cdot 4 = 8.

Passo 3

Verificamos que \gcd(2,15)=1, então o Teorema de Euler diz:
2^{\varphi(15)} \equiv 1 \pmod{15}.
Ou seja,
2^8 \equiv 1 \pmod{15}.

Passo 4

Para aproveitar isso, reduzimos o expoente 45632 módulo 8:
45632 \bmod 8 = 0.
Isso significa que 45632 é múltiplo exato de 8.

Passo 5

Escrevendo 45632 = 8 \times 5704, temos
2^{45632} = \bigl(2^8\bigr)^{5704} \equiv 1^{5704} \equiv 1 \pmod{15}.

Resposta

O resto da divisão de 2^{45632} por 15 é 1.

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