Calcule o resto da divisão de a por n nos casos abaixo:
a=4^{200} e n=7.

Passo 1

O enunciado pede o resto da divisão de a=4^{200} por n=7. Vamos usar aritmética modular e buscar um padrão (ciclo) nas potências de 4 módulo 7 para simplificar o cálculo.

Passo 2

Calculemos as primeiras potências de 4 em módulo 7 até encontrarmos 1, pois isso indica o fim de um ciclo:
4^1 \equiv 4 \pmod{7},
4^2 \equiv 16 \equiv 2 \pmod{7},
4^3 \equiv 4^2 \cdot 4 \equiv 2 \cdot 4 = 8 \equiv 1 \pmod{7}.

Passo 3

Como 4^3\equiv1\pmod{7}, qualquer potência de 4 volta ao início a cada 3 expoentes. Ou seja, o período é 3. Para aproveitar isso, reduzimos o expoente 200 módulo 3:
200 \bmod 3 = 2.

Passo 4

Portanto
4^{200}\equiv 4^{\,200 \bmod 3}\equiv 4^2\equiv 2\pmod{7}.

Resposta

O resto da divisão de 4^{200} por 7 é 2.

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