Seja a função f: \mathbb{Z}_{96} \rightarrow \mathbb{Z}_{96} definida por f(\bar{m})=\overline{35 m}, para todo \bar{m}. Mostre que f é uma bijeção. Também encontre \bar{m} \in \mathbb{Z}_{96} tal que f(\bar{m})=\overline{30}

Passo 1

O enunciado define a aplicação
\;f\colon\mathbb{Z}_{96}\to\mathbb{Z}_{96},
\;f(\bar m)=\overline{35\,m}.
Pede-se (a) mostrar que f é bijeção e (b) encontrar \bar m tal que f(\bar m)=\overline{30}.

Passo 2

Para provar que a multiplicação por \overline{35} em \mathbb{Z}_{96} é bijetora, usamos o fato padrão de teoria de anéis:
uma aplicação \bar x\mapsto\overline{a\,x} em \mathbb{Z}_n é bijetora se, e somente se,
\gcd(a,n)=1.

Passo 3

Calculamos
\gcd(35,96).
Pela algoritmo de Euclides:
\begin{aligned} 96 &= 2\cdot35 + 26,\\\\ 35 &= 1\cdot26 + 9,\\\\ 26 &= 2\cdot9 + 8,\\\\ 9 &= 1\cdot8 + 1,\\\\ 8 &= 8\cdot1 + 0. \end{aligned}
A última resta não nula é 1, logo
\gcd(35,96)=1.

Passo 4

Como \gcd(35,96)=1, concluímos que \overline{35} é invertível em \mathbb{Z}_{96} e, portanto, a aplicação
\bar m\mapsto\overline{35\,m} é bijeção.

Passo 5

Agora resolvemos
\overline{35\,m} = \overline{30} \quad\Longleftrightarrow\quad 35\,m\equiv 30\pmod{96}.
Multiplicamos ambos os lados pelo inverso de 35 módulo 96.

Passo 6

Para achar o inverso de 35 em \mathbb{Z}_{96}, voltamos ao algoritmo de Euclides estendido e obtemos
11\cdot35 -4\cdot96 = 1 \;\Longrightarrow\; 11\cdot35\equiv1\pmod{96}.
Logo \overline{35}^{-1}=\overline{11}.

Passo 7

Multiplicando 35\,m\equiv30 por 11, vem
m\equiv 11\cdot30 = 330 \pmod{96}.
Como 330 - 3\cdot96 = 330-288=42, obtemos
m\equiv 42\pmod{96},
isto é, \bar m = \overline{42}.

Resposta

f é bijeção porque \gcd(35,96)=1.
Um elemento \bar m que satisfaz f(\bar m)=\overline{30} é
\bar m = \overline{42}.

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