Determine: \overline{35}^{-1} em \mathbb{Z}_{144}.
Passo 1
O enunciado pede o inverso multiplicativo de \overline{35} em \mathbb{Z}_{144}. Para isso, primeiro precisamos verificar que \gcd(35,144)=1, garantindo que o inverso existe, e depois usar o algoritmo de Euclides estendido para achar x tal que
35x \equiv 1 \pmod{144}.
Passo 2
Aplicando o algoritmo de Euclides para 144 e 35:
144 = 4 \cdot 35 + 4,
35 = 8 \cdot 4 + 3,
4 = 1 \cdot 3 + 1,
3 = 3 \cdot 1 + 0.
Como o último resto não nulo é 1, concluímos \gcd(35,144)=1.
Passo 3
Agora fazemos o “volta-atrás” para expressar 1 como combinação linear de 35 e 144: