Determine:
\overline{35}^{-1} em \mathbb{Z}_{144}.

Passo 1

O enunciado pede o inverso multiplicativo de \overline{35} em \mathbb{Z}_{144}. Para isso, primeiro precisamos verificar que \gcd(35,144)=1, garantindo que o inverso existe, e depois usar o algoritmo de Euclides estendido para achar x tal que
35x \equiv 1 \pmod{144}.

Passo 2

Aplicando o algoritmo de Euclides para 144 e 35:
144 = 4 \cdot 35 + 4,
35 = 8 \cdot 4 + 3,
4 = 1 \cdot 3 + 1,
3 = 3 \cdot 1 + 0.
Como o último resto não nulo é 1, concluímos \gcd(35,144)=1.

Passo 3

Agora fazemos o “volta-atrás” para expressar 1 como combinação linear de 35 e 144:
1 = 4 - 1\cdot 3,
mas
3 = 35 - 8\cdot 4,
logo
1 = 4 - 1\,(35 - 8\cdot 4) = 9\cdot 4 - 1\cdot 35.
E como
4 = 144 - 4\cdot 35,
temos
1 = 9\,(144 - 4\cdot 35) - 1\cdot 35 = 9\cdot 144 - 37\cdot 35.
Portanto
-37\cdot 35 \equiv 1 \pmod{144},
isto é, o inverso de 35 é -37. Reduzindo a classe por módulo 144:
-37 \equiv 144 - 37 = 107 \pmod{144}.

Resposta

\overline{35}^{-1} = \overline{107} em \mathbb{Z}_{144}.

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