Calcule o resultado das integrais utilizando as funções densidades de probabilidade e propriedades das v.a.'s contínuas conhecidas.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e sugere usar funções densidade de probabilidade conhecidas, o que nos leva a reconhecer aqui a forma da função Beta após uma mudança de variável. Vamos usar a ideia de transformar o domínio de integração em
por meio de
, o que nos permitirá aplicar diretamente a definição da função Beta.
Passo 2
Fazendo
, temos
, e quando
varia de
a
,
varia de
a
. Substituindo na integral:
Logo,
Passo 3
A integral
é, por definição, a função Beta de parâmetros
e
:
Aqui
e
, logo
Portanto
Passo 4
Usamos a relação entre Beta e Gamma:
Como
segue
Logo