Calcule o resultado das integrais utilizando as funções densidades de probabilidade e propriedades das v.a.'s contínuas conhecidas.
integral0^2 x^2raiz2-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
I = integral0^2 x^2raiz2 - x,dx
e sugere usar funções densidade de probabilidade conhecidas, o que nos leva a reconhecer aqui a forma da função Beta após uma mudança de variável. Vamos usar a ideia de transformar o domínio de integração em [0,1] por meio de x=2t, o que nos permitirá aplicar diretamente a definição da função Beta.

Passo 2

Fazendo x = 2t, temos dx = 2,dt, e quando x varia de 0 a 2, t varia de 0 a 1. Substituindo na integral:
I = integral0^1 (2t)^2raiz2 - 2t;2,dt = integral0^1 4t^2raiz2,raiz1 - t;2,dt = 8raiz2integral0^1 t^2(1 - t)^-tfrac12,dt
Logo,
I = 8raiz2integral0^1 t^2(1 - t)^-1/2,dt

Passo 3

A integral
integral0^1 t^2(1 - t)^-1/2,dt
é, por definição, a função Beta de parâmetros p=3 e q=tfrac12:
integral0^1 t^p-1(1 - t)^q-1,dt = B(p,q)
Aqui p-1=2 e q-1=-tfrac12, logo
integral0^1 t^2(1 - t)^-1/2,dt = Bl(3,tfrac12r)
Portanto
I = 8raiz2,Bl(3,tfrac12r) = 4raiz2,Bl(3,tfrac12r)

Passo 4

Usamos a relação entre Beta e Gamma:
Bl(3,tfrac12r) = Gamma(3),Gamma(tfrac12)Gamma(3 + tfrac12) = 2!,raizpiGamma(tfrac72)
Como
Gammal(tfrac72r) = 52cdot32cdot12,raizpi = 158,raizpi,
segue
Bl(3,tfrac12r) = 2 ,raizpitfrac158,raizpi = 1615
Logo
I = 4raiz2times1615 = 64raiz215

Resposta

integral0^2 x^2raiz2 - x,dx = 64raiz215

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