Calcule o resultado das integrais utilizando as funções densidades de probabilidade e propriedades das v.a.'s contínuas conhecidas.
integral-infty^infty x^2 e^-x^2 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria integral-infty^infty x^2 e^-x^2 , dx. O conteúdo envolvido é integração de função par e uso da função Gama para resolver integrais do tipo integral0^infty x^n e^-x^m , dx.

Passo 2

Como o integrando x^2e^-x^2 é uma função par, podemos usar a propriedade de simetria e escrever
integral-infty^infty x^2 e^-x^2 , dx = 2 integral0^infty x^2 e^-x^2 , dx

Passo 3

Para avaliar integral0^infty x^2 e^-x^2 , dx, fazemos a substituição u = x^2. Então du = 2x , dx e x^2 = u, logo:
integral0^infty x^2 e^-x^2 , dx = integral0^infty u cdot e^-u cdot du2raizu = 12 integral0^infty u^1/2 e^-u , du = 12 Gammal(tfrac32r)

Passo 4

Recordando que Gammal(tfrac32r)=tfrac12raizpi, temos
integral0^infty x^2 e^-x^2 , dx = 12 cdot 12raizpi = raizpi4

Passo 5

Finalmente, voltando à integral original e usando o fator 2 da simetria, obtemos
integral-infty^infty x^2 e^-x^2 , dx = 2 times raizpi4 = raizpi2

Resposta

raizpi2

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