Seja U sim Unif(0,1), encontre a função densidade de probabilidade de Y nos casos a seguir:
Y=-ln (1-U)theta.

Passo 1

O enunciado diz que U é uniforme no intervalo (0,1) e define
Y = -ln(1-U)theta
Queremos achar a densidade de probabilidade de Y. O conteúdo aqui é transformação de variáveis contínuas; vamos usar o método da função distribuição acumulada (CDF) e depois derivar para obter a densidade.

Passo 2

Calculemos a CDF de Y:
FY(y)=P(Y<= y) = Pl(-ln(1-U)theta<= yr)
Assumindo theta>0, isso equivale a
-ln(1-U)<= theta y Long<=ftrightarrow ln(1-U)>= -theta y Long<=ftrightarrow 1-U>= e^-theta y Long<=ftrightarrow U<= 1 - e^-theta y
Como UsimUnif(0,1), para y>=0 temos
FY(y)=Pl(U<= 1 - e^-theta yr) =1 - e^-theta y
Para y<0, FY(y)=0, pois -ln(1-U)>=0.

Passo 3

Derivando a CDF em y>=0 obtemos a densidade:
fY(y)=ddyFY(y) =ddyl(1 - e^-theta yr) =theta,e^-theta y, y>=0

Resposta

A função densidade de Y é
fY(y)= theta,e^-theta y,&y>=0, 0,&y<0

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