Seja F(x) a função F(x)=(x+12) I(x)^(0,1 / 2) undersetsubstack(1 / 2, infty)I(x) Calcule:
(a) Calcule P(X>1 / 8).
(b) Calcule P(1 / 8<X<2 / 5).
(c) Calcule P(X<2 / 5 mid X>1 / 8).
(d) A função densidade de probabilidade relacionada a F(x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função de distribuição acumulada
F(x)= 0,&x<0, x+tfrac12,&0<= x<tfrac12, 1,&x>=tfrac12,
que é uma mistura de uma massa discreta em x=0 e de parte contínua em (0,tfrac12). Vamos usar propriedades de CDF para calcular probabilidades e depois extrair a parte discreta e contínua para achar a densidade.

Passo 2

Identificamos a massa discreta em x=0 pelo salto de F em zero:
P(X=0)=F(0)-limxto0^-F(x)=tfrac12-0=tfrac12
Para 0<x<tfrac12 temos parte contínua com
F(x)=x+tfrac12 Longrightarrow f(x)=F'(x)=1, 0<x<tfrac12
Fora desses pontos, a densidade contínua é zero.

Passo 3

Para calcular P(X>1/8), usamos complemento de CDF (não há massa em x=1/8 salvo x=0):
P(X>1/8)=1-F(1/8)=1-l(tfrac18+tfrac12r)=1-tfrac58=tfrac38

Passo 4

Para P!l(tfrac18<X<tfrac25r), ambos os limites estão na parte contínua, logo
Pl(tfrac18<X<tfrac25r) =Fl(tfrac25r)-Fl(tfrac18r) =l(tfrac25+tfrac12r)-l(tfrac18+tfrac12r) =tfrac25-tfrac18=tfrac16-540=tfrac1140

Passo 5

A probabilidade condicional
Pl(X<tfrac25mid X> tfrac18r) =Pl(tfrac18<X<tfrac25r)P(X>tfrac18) =tfrac1140tfrac38 =1140cdot83 =1115

Passo 6

A densidade de probabilidade é mista:
f(x)=tfrac12,de<a(x)+ 1,&0<x<tfrac12, 0,&caso contrário, á
onde tfrac12,de<a(x) representa a massa tfrac12 em x=0 e 1 é a densidade contínua em (0,tfrac12).

Resposta

(a) tfrac38
(b) tfrac1140
(c) tfrac1115
(d) f(x)=tfrac12,de<a(x)+1cdot1(0,1/2)(x)

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