Resolva as equações diferenciais a seguir por separação de variáveis.
y ln x d xd y=(y+1x)^2

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em que x é função de y:
y,ln x,dxdy = l(y+1xr)^2
Vamos usar o método de separação de variáveis para isolar termos em x de um lado e termos em y do outro, e depois integrar cada lado. No processo precisaremos também aplicar integração por partes para a integral que envolve ln x.

Passo 2

Isolamos dxdy e separamos variáveis:
dxdy = (y+1)^2y,ln x,1x^2 Longrightarrow x^2,ln x,dx = (y+1)^2y,dy

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral x^2,ln x,dx = integral (y+1)^2y,dy

Passo 4

À esquerda usamos integração por partes com u=ln x, dv=x^2dx, de modo que du=dxx e v=x^33. Logo,
integral x^2ln x,dx = x^33ln x - integral x^33cdotdxx = x^33ln x - 13integral x^2dx = x^33ln x - x^39
À direita expandimos
(y+1)^2y = y^2+2y+1y = y + 2 + 1y,
portanto
integral (y+1)^2y,dy = integral l(y + 2 + y^-1r)dy = y^22 + 2y + lnlvert yrvert + C

Passo 5

Reunindo as duas integrais, obtemos a solução implícita geral:
x^33ln x - x^39 = y^22 + 2y + lnlvert yrvert + C

Resposta

x^33ln x - x^39 = y^22 + 2y + lnlvert yrvert + C

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