Determine as deri vodas parciais de prmerne e segunda ordem das seguintes funcries:
f(alpha, beta)=(2 alpha+3 beta)^2024

Passo 1

O enunciado pede as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função
f(alpha,beta) = l(2alpha + 3betar)^2024
O conteúdo que vamos usar é a regra da potência combinada com a regra da cadeia: se u(alpha,beta)=2alpha+3beta e f=u^2024, então
partial fpartial alpha =2024,u^2023,partial upartial alpha, partial fpartial beta =2024,u^2023,partial upartial beta

Passo 2

Como u=2alpha+3beta, temos partial u/partial alpha=2 e partial u/partial beta=3. Logo as derivadas de primeira ordem são
partial fpartial alpha =2024,(2alpha+3beta)^2023cdot 2 =4048,(2alpha+3beta)^2023,
partial fpartial beta =2024,(2alpha+3beta)^2023cdot 3 =6072,(2alpha+3beta)^2023

Passo 3

Para partial^2 fpartial alpha^2 derivamos partial f/partial alpha=4048,(2alpha+3beta)^2023 em relação a alpha. Aplicando novamente potência e cadeia:
partial^2 fpartial alpha^2 =4048cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022cdot 2 =4048cdot 2023cdot 2,(2alpha+3beta)^2022 =16192cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022

Passo 4

Para partial^2 fpartial beta^2 derivamos partial f/partial beta=6072,(2alpha+3beta)^2023 em relação a beta:
partial^2 fpartial beta^2 =6072cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022cdot 3 =18216cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022

Passo 5

O derivado misto partial^2 fpartial alpha,partial beta pode ser obtido derivando partial f/partial alpha=4048,(2alpha+3beta)^2023 em relação a beta:
partial^2 fpartial alpha,partial beta =4048cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022cdot 3 =12144cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022
Pela igualdade dos mistos, partial^2 fpartial beta,partial alpha=partial^2 fpartial alpha,partial beta.

Resposta

partial fpartial alpha =4048,(2alpha+3beta)^2023, partial fpartial beta =6072,(2alpha+3beta)^2023,
partial^2 fpartial alpha^2 =16192cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022, partial^2 fpartial beta^2 =18216cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022,
partial^2 fpartial alpha,partial beta =partial^2 fpartial beta,partial alpha =12144cdot 2023,(2alpha+3beta)^2022

Exercícios relacionados