Calcule a reta tangente à curva
no ponto
. Calcule também a reta perpendicular à curva no mesmo ponto.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a reta tangente à curva dada por
no ponto
. Além disso, também precisamos encontrar a reta perpendicular a essa curva no mesmo ponto. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas, para achar a inclinação da tangente e, a partir daí, as equações das retas.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto
. Para isso, vamos derivar a equação da curva em relação a
. Como a equação é
, aplicamos a derivada:
Passo 3
Fazendo as derivadas, temos:
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar
, já que
é uma função de
.
Passo 4
Agora, queremos isolar
:
Passo 5
Vamos calcular
no ponto
. Substituindo
e
:
Então, a inclinação da reta tangente é
.
Passo 6
Com a inclinação
e o ponto
, podemos usar a fórmula da equação da reta:
Passo 7
Simplificando a equação da tangente:
Essa é a equação da reta tangente à curva no ponto
.
Passo 8
Agora, vamos encontrar a reta perpendicular à curva no mesmo ponto. A inclinação da reta perpendicular é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então, se
, então:
Passo 9
Usando a fórmula da reta novamente com
e o ponto
:
Passo 10
Simplificando a equação da perpendicular:
Resposta
A reta tangente à curva
no ponto
é
. A reta perpendicular à curva no mesmo ponto é
.