Calcule a reta tangente à curva x^2+y^3=2 no ponto (1,1). Calcule também a reta perpendicular à curva no mesmo ponto.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a reta tangente à curva dada por no ponto . Além disso, também precisamos encontrar a reta perpendicular a essa curva no mesmo ponto. Vamos usar cálculo diferencial, especificamente derivadas implícitas, para achar a inclinação da tangente e, a partir daí, as equações das retas.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva no ponto ddx(x^2) + ddx(y^3) = ddx(2) . Para isso, vamos derivar a equação da curva em relação a . Como a equação é , aplicamos a derivada:

Passo 3

Fazendo as derivadas, temos:
2x + 3y^2 dydx = 0
Aqui, usamos a regra da cadeia para derivar , já que é uma função de .

Passo 4

Agora, queremos isolar 3y^2 dydx = -2x :
dydx = -2x3y^2

Passo 5

Vamos calcular dydx = -2 times 13 times 1^2 = -23 no ponto . Substituindo e :
Então, a inclinação da reta tangente é .

Passo 6

Com a inclinação y - y1 = m (x - x1) e o ponto y - 1 = -23(x - 1) , podemos usar a fórmula da equação da reta:

Passo 7

Simplificando a equação da tangente:
y - 1 = -23x + 23
y = -23x + 23 + 1
y = -23x + 53
Essa é a equação da reta tangente à curva no ponto .

Passo 8

Agora, vamos encontrar a reta perpendicular à curva no mesmo ponto. A inclinação da reta perpendicular é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então, se mperpendicular = 32 , então:

Passo 9

Usando a fórmula da reta novamente com y - 1 = 32(x - 1) e o ponto :

Passo 10

Simplificando a equação da perpendicular:
y - 1 = 32x - 32
y = 32x - 32 + 1
y = 32x - 12

Resposta

A reta tangente à curva no ponto é . A reta perpendicular à curva no mesmo ponto é .

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