Encontre a reta tangente à função no ponto dado
, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à função
no ponto dado
. Isso envolve cálculo, especificamente derivadas, porque a reta tangente é baseada na inclinação da função naquele ponto. Vamos precisar calcular a derivada da função
e depois usar essa derivada para achar a equação da reta tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto é a reta que “encosta” na função exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da função naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos de dois elementos: um ponto pelo qual a reta passa e a inclinação da reta nesse ponto.
Passo 3
Já temos o ponto
. Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função
avaliada em
. Ou seja, precisamos calcular
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada de
. Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de
é
.
Aqui,
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar as derivadas de
e
:
Passo 6
Agora, aplicamos a regra do produto:
Podemos simplificar isso para:
Passo 7
Agora, vamos avaliar a derivada em
:
Sabemos que
e
, então:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 8
Agora que temos o ponto
e a inclinação
, podemos usar a forma da equação da reta:
Substituindo os valores:
Então:
Resposta
A reta tangente à função
no ponto
é: