Encontre a reta tangente à função no ponto dado
f(x)=e^x cdot ln (x), em (1,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta tangente à função f(x) = e^x cdot ln(x) no ponto dado (1, 0). Isso envolve cálculo, especificamente derivadas, porque a reta tangente é baseada na inclinação da função naquele ponto. Vamos precisar calcular a derivada da função f(x) e depois usar essa derivada para achar a equação da reta tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma reta tangente. A reta tangente a uma função em um ponto é a reta que “encosta” na função exatamente nesse ponto e tem a mesma inclinação da função naquele ponto. Para encontrar essa reta, precisamos de dois elementos: um ponto pelo qual a reta passa e a inclinação da reta nesse ponto.

Passo 3

Já temos o ponto (1, 0). Agora, vamos encontrar a inclinação da reta tangente nesse ponto, que é dada pela derivada da função f(x) avaliada em x = 1 . Ou seja, precisamos calcular f'(1) .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de f(x) = e^x cdot ln(x) . Para isso, vamos usar a regra do produto, que diz que a derivada de u(x) cdot v(x) é u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) .
Aqui, u(x) = e^x e v(x) = ln(x) .

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar as derivadas de u(x) e v(x) :
u'(x) = ddx e^x = e^x
v'(x) = ddx ln(x) = 1x

Passo 6

Agora, aplicamos a regra do produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x) = e^x cdot ln(x) + e^x cdot 1x
Podemos simplificar isso para:
f'(x) = e^x ( ln(x) + 1x )

Passo 7

Agora, vamos avaliar a derivada em x = 1 :
f'(1) = e^1 ( ln(1) + 11 )
Sabemos que ln(1) = 0 e e^1 = e , então:
f'(1) = e cdot (0 + 1) = e
Então, a inclinação da reta tangente no ponto (1, 0) é e .

Passo 8

Agora que temos o ponto (1, 0) e a inclinação m = e , podemos usar a forma da equação da reta:
y - y1 = m (x - x1)
Substituindo os valores:
y - 0 = e (x - 1)
Então:
y = e x - e

Resposta

A reta tangente à função f(x) = e^x cdot ln(x) no ponto (1, 0) é:
y = e x - e

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