Seja \mathcal{S} a esfera de centro na origem e raio a, seja ainda \mathcal{C} a superfície lateral de um cilindro de raio a cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de z=-h / 2 a z=h / 2. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
\iint_{\mathcal{S}} x^{2} d S

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \iint_{\mathcal{S}} x^{2}\,dS,
onde \mathcal{S} é a esfera de raio a centrada na origem.
O conteúdo envolve integrais de superfície em geometria e uso de simetrias, sem recorrer a parametrizações nem ao teorema da divergência.

Passo 2

Observamos que em toda a superfície \mathcal{S} vale
x^2 + y^2 + z^2 = a^2.
Logo,
\iint_{\mathcal{S}} \bigl(x^2 + y^2 + z^2\bigr)\,dS = \iint_{\mathcal{S}} a^2\,dS = a^2 \,\iint_{\mathcal{S}} 1\,dS = a^2 \cdot \bigl(\text{área de } \mathcal{S}\bigr) = a^2 \cdot 4\pi a^2 = 4\pi a^4.á

Passo 3

Pela simetria da esfera, \displaystyle \iint_{\mathcal{S}} x^2\,dS = \iint_{\mathcal{S}} y^2\,dS = \iint_{\mathcal{S}} z^2\,dS.
Como a soma dos três é 4\pi a^4, cada uma vale
\iint_{\mathcal{S}} x^2\,dS = \frac{1}{3} \,4\pi a^4 = \frac{4}{3}\,\pi a^4.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{3}\,\pi a^4

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