Seja
a esfera de centro na origem e raio
, seja ainda
a superfície lateral de um cilindro de raio
cujo eixo é o eixo z e sua altura vai de
a
. Use simetrias e outras considerações geométricas para determinar o valor das seguintes integrais sem usar parametrizações ou o teorema da divergência. Para as integrais de campos considere as superfícies orientadas com normal “exterior”.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
,
onde é a esfera de raio
centrada na origem.
O conteúdo envolve integrais de superfície em geometria e uso de simetrias, sem recorrer a parametrizações nem ao teorema da divergência.
onde
O conteúdo envolve integrais de superfície em geometria e uso de simetrias, sem recorrer a parametrizações nem ao teorema da divergência.
Passo 2
Observamos que em toda a superfície
vale
Logo,
Passo 3
Pela simetria da esfera,
.
Como a soma dos três é , cada uma vale
Como a soma dos três é