Calcule o rotacional:
F(x, y)=(x^2+y^2, 0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional do campo vetorial no plano
F(x,y) = (P(x,y),Q(x,y)) = (x^2 + y^2,,0).
O conteúdo aqui é Cálculo Vetorial, e vamos precisar usar derivadas parciais para aplicar a definição de rotacional em duas dimensões.

Passo 2

Para um campo planar F(x,y)=(P,Q), o rotacional é um vetor na direção z cujo único componente não nulo é
(nabla times F)z ;=;partial Qpartial x ;-;partial Ppartial y

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x ;=;partialpartial x(0) ;=;0,
partial Ppartial y ;=;partialpartial y(x^2 + y^2) ;=;2y

Passo 4

Substituindo na definição, obtemos
(nabla times F)z ;=;0 ;-;2y ;=;-2y
Logo, o rotacional em três dimensões é
nabla times F(x,y) = -2y,k

Resposta

nabla times F(x,y) = -2y,k

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