Calcule o rotacional do campo vetorial F: U subset R^3 R^3
F(x, y, z)=(cos (x) sin (y), cos (x z), sin (y z))

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional (ou curl) do campo vetorial F:UsubsetR^3toR^3 definido por
F(x,y,z) = l(cos(x),sin(y),;cos(xz),;sin(yz)r)
O conteúdo é o conceito de rotacional em coordenadas cartesianas, que envolve derivadas parciais e aplicação da regra de derivação de funções compostas.

Passo 2

A definição do rotacional é
nablatimesF = partial Rpartial y - partial Qpartial z[6pt] partial Ppartial z - partial Rpartial x[6pt] partial Qpartial x - partial Ppartial y ,
onde P=cos(x)sin(y), Q=cos(xz) e R=sin(yz).]

Passo 3

Calculemos a primeira componente:
partial Rpartial y = partialpartial ysin(yz) = zcos(yz), partial Qpartial z = partialpartial zcos(xz) = -xsin(xz)
Logo,
(nablatimesF)1 = zcos(yz) - l(-xsin(xz)r) = zcos(yz) + xsin(xz)

Passo 4

Para a segunda componente:
partial Ppartial z = partialpartial zl[cos(x)sin(y)r] = 0, partial Rpartial x = partialpartial xsin(yz) = 0
Portanto
(nablatimesF)2 = 0 - 0 = 0

Passo 5

Para a terceira componente:
partial Qpartial x = partialpartial xcos(xz) = -zsin(xz), partial Ppartial y = partialpartial yl[cos(x)sin(y)r] = cos(x)cos(y)
Logo
(nablatimesF)3 = -zsin(xz) - cos(x)cos(y)

Passo 6

Juntando as três componentes, obtemos
nablatimesF(x,y,z) = l(zcos(yz) + xsin(xz),;0,;-zsin(xz) - cos(x)cos(y)r)

Resposta

nablatimesF(x,y,z) = l(zcos(yz) + xsin(xz),;0,;-zsin(xz) - cos(x)cos(y)r)

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