Considere o problema de valor inicial e de contorno
& ut t=4 ux x & u(0, t)=0=u(2, t)=0 & u(x, 0)=0 & ut(x, 0)=1,0<x<2
Mostre que un(x, t)=sen n pi x2 sen(n pi t), n=1,2, ldots, é solução da EDP e satisfaz a todas as condições do problema com exceção da última.

Passo 1

O enunciado é o problema de valor inicial e de contorno para a equação da onda em 0<x<2:
utt = 4,uxx,
com condições de contorno
u(0,t)=0, u(2,t)=0,
e condições iniciais
u(x,0)=0, ut(x,0)=1
O que queremos é verificar que, para cada n=1,2,dots, a função
un(x,t)=sin!l(tfracnpi x2r),sin(npi t)
satisfaz a EDP e as duas primeiras condições (contorno e u(x,0)), mas não satisfaz a condição ut(x,0)=1.

Passo 2

Calculemos a segunda derivada temporal de un. Como
un(x,t)=sin!l(tfracnpi x2r),sin(npi t),
temos
utt^(n) = sin!l(tfracnpi x2r),partial^2partial t^2l[sin(npi t)r] = sin!l(tfracnpi x2r),l[-(npi)^2sin(npi t)r] = -,n^2pi^2,sin!l(tfracnpi x2r),sin(npi t)

Passo 3

Calculemos a segunda derivada espacial de un. Como
partialpartial xsin!l(tfracnpi x2r) =tfracnpi2cos!l(tfracnpi x2r),
segue
uxx^(n) =sin(npi t),partial^2partial x^2l[sin!l(tfracnpi x2r)r] =sin(npi t),l[-l(tfracnpi2r)^2sin!l(tfracnpi x2r)r] =-n^2pi^24,sin!l(tfracnpi x2r),sin(npi t)

Passo 4

Comparando as derivadas,
utt^(n) = -n^2pi^2,sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t), 4,uxx^(n) = 4l(-tfracn^2pi^24r)sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t) =-n^2pi^2,sin!l(tfracnpi x2r)sin(npi t)
Logo
utt^(n) = 4,uxx^(n),
isto é, un satisfaz a equação da onda.

Passo 5

Para as condições de contorno:
un(0,t)=sin(0),sin(npi t)=0, un(2,t)=sin(npi),sin(npi t)=0
Portanto un(0,t)=un(2,t)=0 para todo t.

Passo 6

Para a condição inicial u(x,0)=0:
un(x,0)=sin!l(tfracnpi x2r),sin(0)=0
Logo a condição u(x,0)=0 é satisfeita.

Passo 7

Finalmente, a derivada temporal no instante t=0 é
ut^(n)(x,t) =sin!l(tfracnpi x2r),(npicos(npi t)),
de onde
ut^(n)(x,0) = npi,sin!l(tfracnpi x2r)
Este valor não é constante igual a 1 em 0<x<2. Portanto un não satisfaz a condição ut(x,0)=1.

Resposta

A família
un(x,t)=sin!l(tfracnpi x2r),sin(npi t), n=1,2,dots
satisfaz a equação utt=4uxx, as condições de contorno u(0,t)=u(2,t)=0 e a condição inicial u(x,0)=0, mas não satisfaz a condição ut(x,0)=1.

Exercícios relacionados