Considere o problema de valor inicial e de contorno
Mostre que
, é solução da EDP e satisfaz a todas as condições do problema com exceção da última.
Passo 1
O enunciado é o problema de valor inicial e de contorno para a equação da onda em
:
com condições de contorno
e condições iniciais
O que queremos é verificar que, para cada
, a função
satisfaz a EDP e as duas primeiras condições (contorno e
), mas não satisfaz a condição
.
Passo 2
Calculemos a segunda derivada temporal de
. Como
temos
Passo 3
Calculemos a segunda derivada espacial de
. Como
segue
Passo 4
Comparando as derivadas,
Logo
isto é,
satisfaz a equação da onda.
Passo 5
Para as condições de contorno:
Portanto
para todo
.
Passo 6
Para a condição inicial
:
Logo a condição
é satisfeita.
Passo 7
Finalmente, a derivada temporal no instante
é
de onde
Este valor não é constante igual a
em
. Portanto
não satisfaz a condição
.
Resposta
A família
satisfaz a equação
, as condições de contorno
e a condição inicial
, mas não satisfaz a condição
.