1. Determine os extremos relativos da função f(x, y)=4 x+6 y subjeta ao vinculo g(x, y)=x^2+y^2=16
    (Sol. (2,3), máximo, ( -2,-3 ) mínimo)

Passo 1

Vamos achar os extremos de f(x,y)=4x+6y sujeitos ao vínculo g(x,y)=x^2+y^2=16. O conteúdo é multiplicadores de Lagrange; vamos usar a condição nabla f=lambdanabla g junto com a restrição.

Passo 2

Calculemos os gradientes. Temos
nabla f=(4,6), nabla g=(2x,2y)
Então a condição nabla f=lambdanabla g gera o sistema
$$
4=2\lambda x,\
6=2\lambda y,
$$
ejunto com a restrição 4=2lambda x, 6=2lambda y, .

Passo 3

Isolando lambda em cada equação fica
lambda=42x=2x, lambda=62y=3y
Igualando as expressões de lambda
2x=3yRightarrow 2y=3xRightarrow y=32x
Substituindo na restrição
x^2+l(32xr)^2=16Rightarrow x^2+94x^2=16Rightarrow 134x^2=16Rightarrow x^2=6413
Logo
x=pm8raiz13, y=pm12raiz13

Passo 4

Para identificar máximo e mínimo, avalie f nesses pontos. Temos
fl(tfrac8raiz13,tfrac12raiz13r)=48raiz13+612raiz13=32+72raiz13=104raiz13>0,
portanto é o máximo. E
fl(-tfrac8raiz13,-tfrac12raiz13r)=-104raiz13<0,
o que corresponde ao mínimo.

Resposta

Máximo relativo em l(tfrac8raiz13,tfrac12raiz13r) e mínimo relativo em l(-tfrac8raiz13,-tfrac12raiz13r).

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